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专题：数学文化在立体几何中的应用

【高考命题要求】

谈到数学文化，往往会联想到数学史，宏观地考察数学的发展历史，确实是揭示数学文化层面的重要途径.但我们还应从微观的角度，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化内涵.1990年邓东皋、孙小礼首次提出来数学文化这个概念，2003年在新课程标准中官方第一次出现数学文化，2017年的考试大纲中增加了数学文化的要求.这是从考试命题的角度第一次正式地明确要求把数学文化渗透入数学试题.那么未来的高考数学命题定会遵照执行，有所体现，因此要求考生注重这方面知识的积累，注重实际应用. 【基础知识整合】

中国古代著名数学著作

《张丘建算经》：最小公倍数的应用，等差数列各元素互求

《四元玉鉴》：多元高次方程列式消元解法，高阶等差数列求和

《黄帝九章算经系草》：贾宪三角，高次幂开方

《数书九章》：作者秦九韶，“大衍总数术”与“正负开方术”

《九章算术注》作者刘徽，书中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃，逻辑思想、重演思想、极限思想、创新思想、对立统一思想和演绎思想等均是其科学思想的真实体现。本书在数系、筹式演算、勾股、面积体积等理论方面均有很好的阐述.在《九章算术》的《商功》章节中，刘徽提出了三种基本几何体.将底面为直角三角形的直棱柱成为堑堵；将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑；将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马. 算法、数列、立体几何、概率统计、圆锥曲线，今天我们从立体几何的角度出发，看看数学传统文化在考题中的体现. 【典型例题】

例1、（2015年湖北文20）在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，

且PDCD，点E是PC的中点，连接DE,BD,BE. (Ⅰ)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(Ⅱ)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求

变式1、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，侧棱垂直于地面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，若AA1AB2，当阳马BA1ACC1体积最大时，则堑堵ABCA1B1C1的体积为（

）

A 8

B 3V1的值. V22

C 2

D22

例2、(2015全国卷Ⅰ理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（

）

A

14斛

B

22斛

C

36斛

D 66斛

例3、祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两个等高的

几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，其中小正方形边长为1，用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0

）

A 4

B h2

C (2h2)

D (4h2)

例4、鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看

是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________(容器壁的厚度忽略不计).

课后练习

A

3355

B

C

D4242