习题3.2名师课堂实录

《习题3.2—直线的方程习题课》教学设计

清远市华侨中学 黄家勇

一、教学内容和内容分析

本节课内容选自新课标人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学必修二第三章第二节《直线的方程》的课后习题3.2。

直线的方程是直线的代数化表示，对直线方程的“纯粹性”和“完备性”的论述，为以后进一步学习“曲线与方程”做准备，直线方程形式是否熟练掌握和运用会直接影响直线与圆、圆锥曲线的位置关系乃至整个高中阶段解析几何学习，对曲线与方程关系的理解有着重要的启迪作用。因此学习完直线五种方程形式后，有必要再一次通过直线方程问题的练习，强化对直线方程的五种形式的理解，对这些基础知识进行深化和提高，同时通过练习拓宽学生的思路，提高学生的解题能力，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性，提高分析问题、解决问题的能力。因此本节课可为后面解析几何的学习奠定更坚实的基础。

二、学生学习情况分析

1.学情分析

本节课教学对象是清远市梓琛中学的高一学生，属清远地区薄弱学校生源，学生的特点是计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。

2.教法分析

鉴于以上分析，为了实现教学目标，本节课先进行课前检测后再通过运用自然语言，图形语言，数学符号语言回顾表示直线的方程五种形式入手来引出课题，整节课的设计注意“知识”与“题”以及“题”与“问题”间的互相联系，循序渐进，后面的问题可以通过数学变换转化成前面的问题解决，培养学生化新为旧、化繁为简、化难为易的能力。通过精心分类整合课后习题，融入高考真题进行变式训练，引导学生举一反三，一题多变，一题多解学习解题的一般方法，使学生练一题、学一法、会一类、通一片。立足通法，着眼于基础，解决学生“无米之炊”；寻求巧法，着眼于提高，使学生“锦上添花”。

教学过程以学生展示为主，小组合作探究把基础薄弱的学生思维也调动起来，教师总是站在学生思维的最近发展区上，引导学生突破每个难关，从而解决问题。

3.学法分析

学生经过《直线与方程》的学习，已初步具备用坐标法研究几何问题的能力，整个学习过程中，学生在教师的引导下，进行自主探究、合作交流、观察、归纳、动手操作，以及完

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成自我总结、反思和评价，达到本节课的学习目的。

三、教学目标和目标解析

1.通过学生对直线方程问题的练习，帮助学生进一步熟悉直线方程的各种形式，并能根据条件熟练地求出直线的方程；理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程，掌握直线方程各种形式之间的互化。对这些基础知识进行深化和提高，同时通过练习拓宽学生的思路，提高学生的解题能力。

2.进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力，提高学生通过观察抓住对象的特征并快速选择合适方法解决问题的能力，加深对数形结合思想、分类讨论思想的理解。在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。进一步提高学生逻辑推理和数学运算的核心素养。

3.认识事物之间的普遍联系与相互转化；培养用联系的观点看问题。

四、教学重点、难点

根据本节的教学目标，结合学生的认知水平，确定本节课的重点和难点如下：

重点：直线方程五种形式的正确理解和灵活应用。对已学过的数学相关知识间的联系和沟通，数形结合思维方法的培养。

难点：直线方程有关形式间的有机联系，基本公式的灵活应用，数形结合研究问题的能力的培养，分类讨论思想在突破方程形式局限性的应用。

五、教学过程设计

（一）课前自主检测

写出满足下列条件的直线的方程：

（1）斜率是3，经过点A(8,2)；

3（2）经过点B(2,0)，且与x轴垂直；

（3）斜率为-4，在y轴上的截距为7；

（4）经过点A(1,8),B(4,2)；

（5）在y轴上的截距为2，且与x轴平行；

（6）在x轴，y轴上的截距分别为4,-3。

设计意图：可以通过小题快练的形式检测学生直线的方程掌握的情况。

（二）知识回顾：直线方程的五种基本形式

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名称

点斜式

斜截式

两点式

截距式

一般式

【归纳小结】

（1）求解直线方程需 ；

（2）求解的结果一般转化为 。

【设计意图】：引导学生对所学知识进行梳理归纳。

（三）典型题型分析：

【题型一】求直线的方程

例题1（1）已知点A(7,4)，B(5,6)，求线段AB的垂直平分线的方程。

（2）已知ABC的顶点A(8,5),B(4,2)C(6,3)，求经过两边AB和AC中点的直线的方程。

（3）菱形的两条对角边分别位于x轴和y轴上，其长度为别为8和6，求菱形各边所在直线的方程。

【设计意图】通过例题检测对给定条件选择不同方法求直线方程的掌握程度，关注量与量之间的关系，让学生体验各种不同直线方程的优点和其中蕴含的思想方法。

例题2 求过点P(2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程。

【师生活动】学生相互讨论、分析动手练习，教师巡视，展示学生成果，在学生讲解的基础上，再由教师小结，并给出规范的解答，给学生起示范作用，最后进行易错分析。

【易错分析】

四种直线方程形式都有局限性，注意分类讨论思想的运用。

1.

采用截距式需先讨论截距是否存在？是否为0？

2.

采用点斜式和斜截式要讨论直线斜率是否存在？

3.

过P(x0,y0)的直线有无数条，可分为两类：

3 已知条件

方程

适用范围

（1）k存在，yy0k(xx0)

（2）k不存在，xx0

【拓展提高】

例题3 求满足下列条件的直线的方程：

（1）经过点A(3,2)，且与直线4xy20平行；

（2）经过点B(3,0)，且与直线2xy50垂直。

【归纳小结】

（1）与已知直线AxByC0平行的直线方程可设为 （2）与已知直线AxByC0垂直的直线方程可设为 【师生活动】教师巡视，学生小组交流、讨论发言、动手练习，最后展示学生成果，教师点拨。

【设计意图】引导学生掌握求解方法与步骤，引导学生规范作答通过一题多解，引导学生从不同角度思考问题，加深理解，训练学生数学思维。

【真题回放】

1.（2009安徽卷）直线l过点（-1,2）且与直线2x3y40垂直，则直线l的方程是（ ）

A.3x2y10 B.3x2y70 C.2x3y50 D.2x3y80

2.

（2014安徽卷改编）直线l过点（0,3）且与直线xy10平行，则直线l方程是（ ）

A.xy30 B.xy30 C.xy30 D.xy30

【设计意图】体会直线方程在高考中的运用，检测运用所学知识解决问题的能力。

题型二：直线方程的应用。

例题4 一根弹簧，挂4N的物体时，长20cm.在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm。试写出弹簧的长度l（cm）与所挂物体重量G(N)之间的关系的方程。

解析：设弹簧原长为b，弹性系数为k，弹簧的长度l与所挂物体重量G之间关系的方程为lbkG。

由题意，当G4时，l20，所以20b4k ①

当G5时，l21.5，所以21.5b5k ②

4

①，②联立，解得k1.5,b1.4

因此，弹簧的长度l与所挂物体的重量G之间关系的方程为l1.5G14

【师生活动】经过学生的讨论，得出解决问题的思路和一般步骤，教师进行适当的点拨。

【设计意图】让学生对所学的知识与现实生活接轨，从数学中提炼问题，再数学地处理问题，进一步激发学生的学习兴趣，体会数学在生活中的应用。

（四）学生自主小结

1.求解直线方程需 ；结果一般转化为 。

2.

采用截距式和点斜式要注意讨论

3.

通过巧设方程可以减少运算量

（1）与已知直线AxByC0平行的直线方程可设为 （2）与已知直线AxByC0垂直的直线方程可设为 【学生活动】学生在草稿本上完成填空，进行知识梳理，自我检测、反思和评价。

【设计意图】培养学生反思的习惯，形成更加清晰的知识框架，发挥知识系统的整体优势，提高学生自主获取知识的能力及其归纳概括的能力。

（五）教师课堂小结

1.熟练理解和熟记五种直线的方程形式及其应用范围，并熟练运用。

2.掌握解决有关直线问题的解题思路和方法。

【设计意图】从整体上把握本节课所学习内容，帮助学生整理知识，归纳方法，形成知识系统，通过总结提炼引导学生自我反思和评价。

（六）课堂即时反馈检测

1.经过点(3,2)，且与x轴垂直的直线方程是 2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为（ ）

A.2xy10 B.2xy50 C.x2y50 D.x2y70

3.过点(2,4)可作在x轴，y轴上的截距互为相反数的直线共( ) A.1条

B.2条 C.3条 D.4条

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4.直线l的方程为AxByC0,若l直线过原点和二、四象限，则(

) A.C0,B0 B.A0,B0,C0 C.AB0,C0 D.AB0,C0

5.直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）

A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)

【设计意图】检测学生对五种直线方程形式的灵活运用和学生分析问题和解决问题的能力。

（七）课后作业：教材101页A 组5题，11题，B组第1题

【教学设计说明】本节课是在学习了直线五种方程后的一节习题课提高课，通过同学们的思考、练习、相互间的启发研究，对本单元的基础知识进行复习巩固和深化，进一步掌握直线方程的五种形式。主要利用两类题型及其引申，通过一题多变、层层深入的探索，强化对直线方程运用的理解。本节习题课的选题具有明显的层次性，由浅入深，所设计的练习以及引导学生进行探究过程的发问，都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区”教师通过对练习的引申、变化，引起学生新的认知冲突，将对问题的讨论层层引向深入，重点突出、分析到位，基本实现了预期目标。在此过程中，学生对直线方程的认识不断深化，而且思维的深刻性、创造性、科学性、批判性等良好品质到了很好的训练，分析问题、解决问题的能力大大提高。教学方式的选择合理、高效，符合新课程理念。设计的问题强调了基础性、层次性、探究性。这种“探究一合作”式教学模式，使学生在“知识的获得过程”上不再是简单的“师传生受”，而是让学生依据自己已有的知识和经验主动建构，实现了教师主导下的主体建构。

本节课还能充分显示出“多媒体教学”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。借助于多媒体平台，全体学生参与空间增大；难以理解的抽象的数学理论变得形象、生动且通俗易懂，学生拥有更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥主体作用。

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