习题3.2课程导入及其完整教案

直线的参数方程

教学设计

知识与技能：

1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数

（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．

教学过程：

一、复习回顾：

1．直线的方向向量的概念．

2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

3.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

4.如何建立直线的参数方程？

二、师生互动，新课讲解

1．引出直线单位方向向量

为数轴的单位方向向量，

与

当

方向一致时（即

与

方向与数轴的正方向一致，且

的方向与数轴正方向一致时），

；当

；

；

方向相反时（即

；

的方向与数轴正方向相反时），

当M与O重合时，

【设计意图】通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备

直线

平行且方向向上(

的倾斜角不为0时)或向右（

的倾斜角为0时）的单位向量

确定直线

的正方向，同时在直线

上确定进行度量的单位长度，这时直线

就变成了数轴．于是，直线

上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

3. 等价转化，深入探究

问题：如果点

,M的坐标分别为

，怎样用参数

表示

？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

因为

，（

，所以存在实数

．

于是

即

，

，

，

．

，倾斜角为

的直线的参数方程为

），

，使得

，即

，

因此，经过定点

（

为参数）． 教师提出如下问题让学生加强认识：

直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

参数

的取值范围是什么？

参数

的几何意义是什么？

总结如下：

，

是常量，

；

，且

的距离．当

，得到，因此表示直线上是变量；

由于

的动点M到定点

；当

与点

的方向与数轴（直线）正方向相同时，

；当

时，点M的方向与数轴（直线）正方向相反时，

重合．

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

三、运用知识，培养能力

例

直线 (t为参数)的倾斜角是(

) A．20°

B．70°

C．110°

D．160°

例(课本P36例1) 已知直线

段AB的长度和点

与抛物线

交于A,B两点，求线到A,B两点的距离之积．

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：

解法一：由

设

，

，得

．

,由韦达定理得：

．

．

由（*）解得

，

．

所以

．

则

．

解法二、因为直线

过定点M，且

的倾斜角为

，所以它的参数方程是

（

为参数），

即

把它代入抛物线的方程，得

，

（

为参数）．

解得

，

．

由参数

的几何意义得：

，

．

在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

三、课堂小结，巩固反思：

（1）直线参数方程求法；

（2）直线参数方程的特点；

（3）根据已知条件和图形的几何性质，注

意参数的意义。

四、课时必记：

五、作业：

（课本P39习题 2.3 NO:1）