习题2.3公开课参赛课教案

线面角的传统解法教学设计

一．教材分析

线面角是人教版高中数学必修二的内容，本节课为习题课，这节内容是线面垂直有关内容的深化、延伸和提高．这节通过例题讲解和习题深化，培养学生解决问题的能力。教材中的习题主要是求解立方体中已知垂线的线面角，这一内容要完全掌握，另外，需要拓展一些，求解垂线未知的线面角题型。其中，类比定义法和公式法求解线面角课解决二面角求解问题，而转化思想则贯穿整个立体几何部分。

二．学情分析

按现行新教材结构体系，学生已掌握异面直线所成角、线面角、二面角的定义，以及线面垂直、面面垂直的证明等基础知识，了解简单异面直线、线面角的求解。依据现有知识水平，学生只能求解已知垂线的线面角问题，也能用符号语言进行线面垂直的几何证明，而不能解决垂线未知的问题；能依据形的直观性进行感性判断而不能作出垂线段解题。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，加大练习量，强化重点，深入难点，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的解决问题

三．教学目标

1.

知识与技能：通过回顾线面角的定义，使学生了解线面角问题的基本解法，掌握利用定义求解线面角的基本方法。

2.

过程与方法：通过例题讲解，渗透转化的思想方法，掌握将空间几何转化为平面几何解决问题，掌握垂线的作法和用等体积法求垂线段的长

3.

情感与态度：通过知识探究过程，让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般，从感性到推理的认知过程，提高学生将图形语言转化成数学语言能力。

四．教学重、难点

重点：定义法和公式法求解线面角。

难点：空间见转化为平面角，过斜线端点作平面的垂线

五．教学方案

1．

复习回顾线面角的定义

如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

2．

定义法求解线面角

由定义求线面角，通常是解由斜线段PA，垂线段PO，斜线在平面内的射影AO所组成的直角三角形PAO。垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

D1

C1

例1 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，

A1C与平面A1B1BA所成角是________

B1

A1 A1C与平面A1D1DA所成角是________

D C A1C与平面A1B1C1D1所成角是_______



A B

D1 例2 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中, （1）AB1与面BB1D1D所成的角_________ （2）AB1与面A1B1CD所成的角是_________

A

例1和例2都是先找垂线再找线面角

例3 已知正方体的棱长为a，

(1)求直线AB1和平面A1B1C1D1所成角的大小；

(2)求直线DB1和平面A1B1C1D1所成的角的余弦值；

(3) E是A1D1的中点，求直线EB和平面ABCD所成角的正切值。

B A1 D C1 B1 C D A D1 A1 B1 B C C1 例4 已知三棱锥A-BCD的各棱长都为2，求直线AB与平面BCD所成角的余弦值。

变式:已知三棱锥A-BCD的各棱长都为2，求直线AB与平面ACD所成角的余弦值

例5

P是ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC=10, AB=6,BC=8,CA=10，求PA、PB、PC分别与平面ABC所成的角。

变式：A是BCD所在平面外一点,且BC=CD=5，BD=5√2，AB=AC=AD=8,求AD与平面BCD所成的角余弦值

例4和例5需要作垂线，作线面角，再转化为平面问题求解

例6 已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD, PD=AD。求直线DC与平面PBC所成角的大小。

例6则需要找垂面,平面PCD与平面PBC垂直，且交线为PC，A P D

E D

B C

过D作交线PC的垂线DE，由面面垂直性质定理得到线面垂直，再解决问题

3．

公式法求解线面角

公式sinθ=h／L 其中θ是斜线与平面所成的角，

h是

垂线段的长，L是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积相等来求垂线段的长。

C 例1四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°,

∠SBC=60°,

M 为

AB的中点，求

（1）BC与平面SAB所成的角

（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。

解：（1）

∵SC⊥SB,SC⊥SA,

∴SC⊥平面SAB 故

SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，

∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。

（2）

连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM 过S作SH⊥CM于H,

则SH⊥平面ABC ∴CH即为

SC 在面ABC内的射影。

∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。

sin ∠SCH=SH／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7

S A B 法二：设S到平面ABC的距离为h，SB=a，

则SA=a,SC=√3a,AC=BC=2a,AB=√2a 由VC-SBA=VS-ABC 得h=√21a/7

∴sin θ=h／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7

“垂线”是相对的，SC是面

SAB的垂线，又是面

ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

4．

归纳小结

1. 直线与平面所成角的计算步骤：一作，二证，三算

2.计算直线与平面所成角采用的思想：空间角转化为平面角

3.解题技巧：线面角找垂线，垂线长体积法

5．

课后巩固

六．教学反思

本课是让学生通过回顾线面角定义，由定义掌握求线面角的方法，从特殊到一般的方法归纳出线面角的求解方法，通过例题归纳出求线面角的方法、步骤及注意点。首先，通过面的垂线为已知线段的例题，让学生通过找垂线确定线面角，从而求线面角；其次，通过找面的垂面的例题，作垂线，在通过垂线求线面角；最后，通过需要作垂面作垂线的例题，引出作垂线的方法和不作垂线运用公式法求线面角。例题与习题由浅入深，由简入难，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课标的精神。