1.2 充分条件与必要条件（通用）教学设计方案

1.2.2充要条件

桐城八中 李召君

教学目标：

（一）知识上

要求学生正确理解充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件及既不充分又不必要条件的概念，并能在论证中正确的应用。掌握判断命题条件的两种方法:定义法和集合法。

（二）能力上

充要条件是重要的概念，通过学习，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

（三）情感、态度与价值观上

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学重点：

理解充要条件的意义

命题条件充要性的判断方法

教学难点：

命题条件充要性的判断方法。

教学过程：

（一）

复习与引入

提问：什么是充分条件？什么是必要条件？

引入：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数。

那么p是q的什么条件？q又是p的什么条件? 分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条

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件，就要看q能否推出p。易知pq，同时qp，所以p是q的充分条件，p也是q的必要条件。

（二）

新课

充要条件定义：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，称p是q的充分必要条件，简称充要条件。

概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件。

总结：（从逻辑关系看充分条件和必要条件）若条件p与结论q pq

，p是q的充分条件；

pq，

pq，p是q的充分不必要条件； pq，p是q的必要条件；

pq，pq，p是q的必要不充分条件；

pq，p是q的充要条件；

pq，pq，p是q的即不充分也不必要条件；

（三）

知识应用

例1、下列各题中，p是q的什么条件。

(1)

p：b=0，q：函数f(x)ax2bxc是偶函数；

(2)

p：x0,y0，q：xy0

(3)

p：ab，q：acbc

【答案】（1）（3）充要条件

（2）充分不必要条件

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例2、用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空。

（1）ABC中，

"AB"是"sinAsinB"的____________条件 （2）已知，，则“”是“”的____________条件 （3）若、R，则“”是“tantan”成立的___________条件

（4）“sincos”是“cos20”的___________条件

（5）在中，“”是“”的___________条件 【解析】： （1）充分必要

在ABC中，ABab，根据正弦定理，sinAa1

，则sinAsinB；

sinBbsinAasinA1

，根据正弦定理1abAB反过来，sinAsinB0,

有sinBbsinB

（2）既不充分又不必要 取1200,600，可知cos1200cos600

，所以不充分；

反之

，cos300cos1200，却不能推出“3001200

”，因此不必要。

（3）必要不充分

不妨设a450,2250

，tan450tan22501

，说明条件不充分，反之我们可以看当时，一定有tantan成立，其逆否命题为：若tantan

，则也成立，若、R，所以“”是“tantan”成立的必要非充分条件. （4）充分不必要条件

（5）充分必要

在ABC中，ABCabc，根据正弦定理可得：sinAsinBsinC,由于sinA,sinB,sinC

均为正，则sin2Asin2Bsin2C，则12sin2A12sin2B12sin2C，所以cos2Acos2Bcos2C；反之也成立。所以"ABC"是"cos2Acos2Bcos2C"的充要条件。

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例3、已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：设A{x|x2x60},则A{x|x2或x3}，

设B＝{x|x}，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以

总结：（从集合关系上看充分条件、必要条件）

如果命题p,q分别以集合A{xp(x)}，B{xq(x)}的形式出现，那么p,q之间的关系可借助集合知识来判断

若AB，则p是q的充分条件；

若AØB，则p是q的充分不必要条件；

若AB，则p是q的必要条件；

若AÙB，则p是q的必要不充分条件；

若AB，则p是q互为充要条件；

若AØB，且AÙB，则p是q的既不充分也不必要条件；

练习：已知条件p：|x1|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是

A. a1

B．a1 C．a1

D．a3

【答案】A 【解析】∵|x+1|≤2，∴-2≤x+1≤2，即-3≤x≤1，即p：-3≤x≤1，

∵p是q的充分不必要条件，x≤a，∴a≥1，则a的取值范围是[1,).

4 m4m2，即m8. 4

备例4、已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

证明过程如下:如图所示

（1）充分性（pq）:作OPl于点P，则OPd.若dr，则点P在O上.在直线l上

任取一点Q(异于点P),连接OQ.在RtOPQ中，OQOPr.所以，除点P外，直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.因此，直线l与O相切. （2）必要性（qp）:若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OPl.因此，dOPr.

（四）小结

本节课主要讲了两个知识点：充分必要条件的判断方法（定义法和集合法）；

充要条件的证明（充分性和必要性）。

（五）作业（另附）

（六）教学反思

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