3.4 生活中的优化问题举例课堂实录【3】

《生活中的优化问题举例》教学设计

高二数学

常亚洁

选修 1—1 第三章

教学内容分析

导数是微积分的核心概念之一，在数学、其他科学以及生产实践中都有着广泛的应用。在一系列问题的引导下学生将学习理解导数的含义，体会导数的思想，并运用导数探索函数的单调、极值、最值等性质及其在实际生活中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用。

教学

课题

课程

类型

课时

3.4生活中的优化问题举例

研究性学习课

第一课时

理论

通过导数求解函数最值，解决生活中的优化问题

依据

本节课是在学习了如何利用导数求解函数的单调性、极值、最值后的一节应用题课，承上启下，让学生运用导数通过建模解决生活中的优化问题，本节课在整章内容中起到画龙点睛，小结归纳，复习巩固的作用。

在此之前学生已经掌握如何通过求导解决函数的单调性问题、极值最值问题。结合生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，可以引导学生通过建立恰当的函数模型，利用求导函数解出最值，从而解决优化问题。

教材

分析

学情

分析

教学

利用导数解决生活中的一些优化问题。

重点

教学

优化问题的数学建模与求解方法的掌握。

难点

1、

知识与技能目标：会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，提高建模能力。

2、

过程与方法目标：让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用教学

导数法解决优化问题的方法。

目标

3、

情感态度与价值观目标：形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性，激发学生学习数学的热情，培养学生解决问题的能力和创新能力。

第

1 页；共

4 页

教学

探究法与合作学习

方法

学法

数学建模思想，观察归纳能力的培养

渗透

教学

多媒体课件，课前调研报告，小组探究活动

手段

情境导入：预习作业的分享

规格（L）

价格（元）

平均价格（元）

2.5

1.0

0.6

0.3

教学过程设计

教学步骤

教师活动

学生活动

设计意图

学生活动一：开题报告

课从生活中发现问题，与大家分享调查报告：春游活动，走进超市

培养学生的观察能前让A、B两组组长陈让学生观察各种物品的大小包装与其对应价格，如上力，善于发现问题，准述事实，提出疑问，图所示，如何解释这种现象？

勤于思考

备

产生分歧：对制造商而言，哪一种包装的利润更大？

知识储备

提出导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．生

活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

第

2 页；共

4 页

课题引入

问题情景：利润最大

学生收集饮料的贴近生活，增强学

各种大小包装，比较生的动手能力和观

大家关心的几个问题：

性价比。

察能力。

（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？

（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？

（3）为什么等量的小包装物品一般比大包装更贵些？

（4）既然消费者热衷于大包装，而制造商也经常搞促销买大包装，如：加量不加价，这是否是个双赢的最优化问题呢？

（5）如何运用数学作为工具解决这类问题？

学生活动二：探索建模

底半径

问题一：如何计（cm）

算利润？

高（cm）

层层分析，诱r:h

问题二：依题意，如导学生建立恰当模何计算收入？

型，收集数据，处问题三：可乐瓶理数据，建模，利利润最大问题的探究

的体积如何计算？

用导数求最值，达

以可口可乐为背景建模：可口可乐公司出售各种到本节课的教学目

2标。

容量的瓶装可乐，瓶子的制造成本是

3r，已知每

出售1ml的

饮料制造商可获利0.2分，且制造商能制做的瓶

学生活动三：测量估子的最大半径为5cm,

问：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利算

问题四：如何减少未润最大？

（2）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利知数的个数？即通

过测量，能否找到瓶润最小？

子的半径r与瓶身的

通过五个问题

问题四：如何减少未知数的个数？即通过测量，能否高度h之间的比值？

环环相扣，层层推（完成左侧表格）

找到瓶子的半径r与瓶身的高度h之间的比值？

进，引导学生步步问题五：r的取值范

推进，增强学生的围？

近似取值

r:h=1：5 建模能力、分析能

然后带领学生解答问题，引导学生观察

力和动手能力

学生活动四：运算求值

容量（L）

2.5 1.0 0.6 0.3 探索研究

第

3 页；共

4 页

用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

总1、函数建模

结2、确定定义域

提3、利用导数求最值

炼

4、下结论

解决优化问题的过程：提高学生将实际问

学生活动五：小结

题转化为数学问题审题——建模——的能力

解模——作答

巩固应用

类型二：海报设计

设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积

学以致用，学会审

为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空学生活动六：练一练

题，建立恰当函数1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最独立完成

模型解决问题。

小？

作业：调查探究

包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等

的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？

建立模型，解决优化

(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应问题

取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

课后延伸

板书设计

3.4生活中的优化问题举例

学习目标

一．最值问题

1.

利润=收入-成本

2.

收入=0.2V圆柱

第

4 页；共

4 页

学生板书习题