小结课堂实录及点评

常用逻辑用语1.1-1.2复习

1．命题

一般的，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以

的

叫做命题．其中，判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题．

说明：（1）强调判断命题的两个基本条件：

①必须是一个陈述句；②可以判断真假．

【例1】判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）画线段AB=CD．

（2）都中的景色多美啊！

（3）这是一条大河．

（4）2小于或等于2；

（5）2x15 （6）312

2．命题形式“若p则q”

“若p则q”的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．也可写成“如果p，那么q”、“只要p，就有q”等形式．

【例2】

指出下列命题中的条件p和结论q：

（1）全等的两个三角形面积也相等；（2）菱形的对角线互相垂直且平分．

变式1．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假．

（1）等腰三角形两腰的中线相等；

（2）偶函数的图象关于y轴对称；

（3）垂直于同一个平面的两个平面平行．

3．四种命题

互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

也就是说：

原命题为：“若p，则q”

逆命题为：“若q，则p”

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是

．

互否命题：如果一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．

也就是说：

原命题为：“若p，则q”

否命题为：“若p，则q”

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是

．

互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．

也就是说：

原命题为：“若p，则q”

否命题为：“若q，则p”

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是

．

【例3】写出下列命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题．

（1）正方形的四条边相等．

（2）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0．

4．四种命题之间的关系

一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题之间的相互关系，如图所示：

（1）两个命题互为逆否命题，它们的真假性

；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

．

【例4】证明：若x2+y2=0，则x=y=0

5．一些常见的结论的否定形式

原结论

是

都是

大于

小于

反设词

不是

不都是

不大于

大于或等于

原结论

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

反设词

一个也没有

至少两个

至多有（n-1）个

至少有（n+1）个

对所有x，成立

存在某x，不成立

对任何x，不成立

存在某x，成立

注：“一定是”的否定为“一定不是”．

6.充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p

通过推理可以得出q.我们就说,由p推出q,记作pq,并且说p是q的

条件，q是p的

条件。

注意：所谓的“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；所谓的必“要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可。

7．充要条件

一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq, 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的

条件，简称

条件。其中叫做等价符号。pq表示pq且qp

8.几种逻辑关系

(1)若

pq ,qp, 则p是q的

条件。

(2)若pq ,qp, 则p是q的

条件。

(3)若

pq ,qp, 则p是q的

条件。

(4)若

pq ,qp, 则p是q的

条件。【例5】不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-22

变式2：2x25x30的一个必要不充分条件是（

）. A.12x3

B.12x0

C.3x12

D.1x6

9.充要条件的证明

【例6】已知A，B是直线L上任意两点，O是L外一点。

求证：点在直线上的充要条件是opxOAyOB,其中x,yR，且x+y=1。

1．下列语句中不是命题的是

(

) A．一个数不是正数就是负数

B．二次函数不是偶函数

C．x>0

D．对于x∈R，总有x2>0 2．命题“若△ABC有一内角为3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题

(

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

3．“在△ABC中，若∠C=90°，则∠B，∠A全是锐角”的否命题为

(

) A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角

)

B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角

C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一个钝角

D．以上均不对

4．已知命题p:已知m≠0，若2a>2b，则am2>bm2，则其否命题为

(

) A．已知m=0，若2a>2b，则am2>bm2

B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2>bm2

C．已知m≠0，若2a>2b，则am2≤bm2

D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2

5．已知直线l1:x+ay+1=0，直线l2:ax+y+2=0，则命题“若a=1或a=-1，则直线l1与l2平行”的否命题为

(

) A．若a≠1且a≠-1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠-1，则直线l1与l2不平行

C．若a=1或a=-1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠-1，则直线l1与l2平行

6．与命题“若x=3，则x2-2x-3=0”等价的命题是

(

) A．若x≠3，则x2-2x-3≠0

B．若x=3，则x2-2x-3≠0

C．若x2-2x-3≠0，则x≠3

D．若x2-2x-3≠0，则x=3 7．有下列命题:①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2-x-6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是

(

) A．0

B．1

C．2

D．3 8．已知下列命题:①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若m>2，则不等式x2-2x+m>0的解集为R”．其中真命题的个数为

(

) A．0

B．1

C．2

D．3 9．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列为真命题的是

(

) A．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

10．“若x2-2x-8<0，则p”为真命题，那么p是

(

) A．{x|-2

B．{x|2

C．{x|x>4或x<-2} 11．下列命题中正确的是

(

) ①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题；④“若x-3是无理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①④

D．{x|x>4或x<2} 12. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（

）. A.平行四边形对角线相等

B.四边形两组对边相等

C.四边形的对角线互相平分

D.四边形的对角线垂直

13.x,yR，下列各式中哪个是“xy0”的必要条件？（

）.

A.xy0

B.x2y20

C.xy0

D.x3y30

14. 下列命题为真命题的是（

）. A.ab是a2b2的充分条件

B.|a||b|是a2b2的充要条件

C.x21是x1的充分条件

D.是tantan

的充要条件

15.“xMN”是“xMN”的（

）. A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

16.设p：b24ac0(a0)，q：关于x的方程ax2bxc0(a0)有实根，则p是q的（

）. A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

17．已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”．

写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．