1.2.1 中心投影与平行投影优秀公开课教案

中心投影与平行投影

知识点一 中心投影与平行投影

1、

投影：光线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。

2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形. 3、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形全等；

4、中心投影与平行投影的区别与联系

(1)中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，画实际效果图时，一般用中心投影法；

(2)平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征。画立体几何中的直观图形时一般用平行投影法。

例1、判断下列命题是否正确

（1）

直线的平行投影一定为直线

（2）

一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段

（3）

矩形的平行投影一定是矩形

（4）

两条相交直线的平行投影可以平行

知识点二 三视图

1、概念：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。线自物体由前向后投射

所得投影称为主视图或正视图。光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图。光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图。

2、三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

例2、画出下列几何体的三视图

分析：一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。解：这二个几何体的三视图如下

例3、如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）

变式1、如图，E、F分别为正方形的面ADD1A1、BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影不可能为

回顾与反思

变式2、三视图如下，试判断该几何体的形状

变式3、个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：

(1)该物体有多少层？ (2)该物体的最高部分位于哪里？

(3)该物体一共由几个小正方体构成？

【解】

(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．

(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．

(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成.

知识点三 直观图----斜二测画法

基本步骤如下：

1、建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系x'o'y'，两轴夹角为45. 2、平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段. 3、长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 例4、（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；

（2）画棱长为4cm的正方体的直观图. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成. 第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角边CB所在的直线为x轴，与BC垂直的直线为y轴，画出对应的x轴和y轴，使xOy45. 1第二步，在x轴上取O'C'BC，过C'作y'轴的平行线，取C'A'CA. 2第三步，连接A'O'，即得到该直角三角形的直观图.

（2）画法：如图，按如下步骤完成. 第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD，使BAD45,AB4cm,AD2cm. 第二步，过A作z轴，使BAz90. 分别过点B,C,D作z轴的平行线，在z轴及这组平行线上分别截取AABBCCDD4cm. 第三步，连接AB,BC,CD,DA，所得图形就是正方体的直观图. 点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线. 变式1、下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.

变式2、如下图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图. 若A1D1//O1y，2A1B1//C1D1，A1B1C1D12，A1D1O'D11. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求3原图形的面积.

解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODO'D11；OCO'C12. 在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12. 在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12. 连接BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2,CD3，直角23腰长度为AD2，所以面积为S25. 2变式3、利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形.

以上结论正确的是

（

B

）

A．①②

B．

①

C．③④

D．

①②③④

巩固练习一：

1、两条相交直线的平行投影是（ ）

A、 两条相交直线 B、 一条直线

C、

一条折线 D、 两条相交直线或一条直线

2、如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是（ ）

A、 内心的平行投影还是内心 B、 重心的平行投影还是重心

C、 垂心的平行投影还是垂心 D、 外心的平行投影还是外心

3、下列说法正确的是（ ）

A、 矩形的平行投影一定是矩形 B、 梯形的平行投影一定是梯形或线段

C、 正方形的平行投影一定是矩形 D、 正方形的平行投影一定是菱形

4、当图形中的直线或线段不平行于投射线时，下列说法中不正确的是（ ）

A、 直线或线段的平行投影仍是直线或线段

B、 平行直线的平行投影仍是平行的直线

C、 与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等

D、

在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

5、从投影的角度来看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形

6、矩形的平行投影一定是矩形 7、梯形的平行投影一定是梯形

8、平行四边形的投影可能是正方形 9、两条相交直线的投影可能平行

10、当直线或线段不平行于投射线时，直线或线段的平行投影仍是直线或线段

11、平行直线的平行投影仍是平行的直线

12、与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等

13、在同一直线或平行线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

14、如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的对应的中位线。

15、空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。

16、如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是 （ ）

A、矩形的平行投影一定是矩形 B、梯形的平行投影一定是梯形

C、正方形的平行投影一定是矩形 D、正方形的平行投影一定是菱形

17、投射线与投射面垂直的平行投影叫做____________________。

18、一个点光源把一个图形照射到一个平面上，_____________就是他在这个平面上的中心投影。

19、在物体的平行投影中，如果_____________________________,则称这样的平行投影为正投影。

20、___________是做出几何体三视图的依据。

1、

D；2、A；3、B；4、B；

5、对；6、错；7、错；8、对；9、错；10、对11、错12、对13、对；14、对；15、对

16、B ；17、正投影18、这个图形的影子19、投射线与投射面垂直20、正投影

巩固练习二：

一、选择题：

1．下列投影是中心投影的是（ ）

A. 三视图 B. 人的视觉 C. 斜二测画法 D. 人在中午太阳光下的投影

2．下列投影是平行投影的是（ ）

A. 俯视图 B. 路灯底下一个变长的身影 C. 将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上. D. 以一只白炽灯为光源的皮影

3．如右图所示的圆锥的左视图为（ ）

A. B. C. D. 4．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（ ）

A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D.球体

5．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（ ）

A. 球和圆柱 B. 圆柱和圆锥 C. 正方体的圆柱 D. 球和正方体

6．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（ ）

A. 四边形 B. 三角形 C. 圆 D.椭圆

7．下图（1）、（2）、（3）分别是左图的（ ）

（1） （2） （3）

A. 主视图、左视图、俯视图 B. 主视图、俯视图、左视图 C. 左视图、主视图、俯视图 D. 俯视图、左视图、主视图

8．如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（ ）

A. B. C. D. 二、填空题：

9. 是零件的____________视图。

10．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________，俯视图与左视图的宽度应_________。

11．放幻灯是利用__________________投影，进行工程制图或技术图样采用______________投影的方法。

12．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有___________________ (写出两个几何体即可). 三、解答题：

13．画出下列几何体的三视图.

(1) (2) (3) 14．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图。

15．画出如图的三视图(单位:mm).

16．右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：

（1）这个几何体是什么体？

（2）如果面A在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？

（3）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在上面？

（4）从右边看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面？

17.等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB=2

, 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为_______．

18．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为

.

参考答案

一、选择题：

1. B(由中心投影的定义) 2 .A(由平行投影的定义) 3.C(由左视图画法得) 4. C(由圆锥的定义知) 5.D(球和正方体的性质知) 6.C(旋转体中含与轴垂直的投影是圆) 7.A(组合体上面是圆锥,下面是圆台俯视图是圆中加一个点) 8.B(底部是个十字架,有5个小正方体) 二、填空题: 9. 左(对照三个视图) ;10. 平齐，对正，相等(由三视图的作法) 11. 中心，平行(由两个投影的定义可知) 12．圆锥、三棱锥、三棱柱（如三棱镜一样的三棱柱）

三、解答题: 13.画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚:（1）为正四棱台;（2）是圆台和球组成的几何体;（3）是六棱柱与圆柱的组合体. 绘制三视图时要将被遮挡的部为用虚线。

14. 画主视图时，先看俯视图从左至右共几列：共3列命名为A、B、C(命名的目的是为了下文叙述，具体画图时，可以不命名)，并横画连续的三个正方形(如图1) 接着看各列上的最大数字，A、B、C三列上，从上至下分别画4、3、3个正方形(包括图1中正方形) 如图2. 画左视图时，假设观察者站在俯视图的左例。从左至右共4列，命名为M、N、A、B(C)，并画连续的4个正方形(如图3)，再看M、N航班、A、B列上的最大数字分别是3、3、4、3. 并在图3对应位工上画正方形，使M、N、A、B列上正方形个数为3、3、4、3(如图4).因此，图2和图4就是所画的主视图和左视图. 15. 三视图如图所在地示(单位:mm).

16.(1) 长方体; (2) 面F ; (3)面A.(可用一个长方体的橡皮, 按题意标上A,B,C,D,E,F , 旋转到适当位置即可是到答案.) 17. 2

18.624

中心投影与平行投影

1．一条直线在平面上的正投影是(

) A．直线

B．点

C．线段

D．直线或点

【答案】

D 2．已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是(

)

A．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 B．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱

C．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 D．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱

【答案】

A 3．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后得到的△A′B′C′与△ABC(

) A．全等 C．不相似 B．相似 D．以上都不对

【答案】

B 4．(2013·济南高一检测)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

)

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

【答案】

D 5．(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图1－2－13所示，则该几何体的俯视图不可能是(

) ．．．

图1－2－13

【答案】

D

图1－2－14 6．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103(如图1－2－14)，则皮球的直径是________．

【解析】

设球半径为R，由题意得DC＝2R，DE＝103，∠CED＝60°，

∴DC＝DEsin 60°＝15. 【答案】

15 7．如图1－2－15所示的三视图表示的几何体是________．

图1－2－15 【解析】

该三视图表示的是一个四棱台．

【答案】

四棱台

8．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的______(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．

【解析】

三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形．当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．

【答案】

①②③⑤

三、解答题

9．如图1－2－16是截去一角的长方体，画出它的三视图．

图1－2－16 【解】

物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图．

10．已知一个几何体的三视图如图1－2－17，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．

图1－2－17 【解】

由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．