3.1.1 变化率问题课堂实录

§1.1.1 变化率问题

学习目标

1.

知识与技能

平均变化率的概念;平均变化率的几何意义，

函数在某点处附近的平均变化率

2.

过程与方法

理解平均变化率的概念; 会求函数在某点处附近的平均变化率

3.

情感态度与价值观

学习重点

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率

学习难点

平均变化率的概念.

学习连接

学习过程

一、创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课讲授

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)3分析: r(V)343r

33V

43V

4(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

r(1)r(0)0.62(dm/L)

气球的平均膨胀率为10(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

r(2)r(1)0.16(dm/L)

气球的平均膨胀率为21r(V2)r(V1)

V2V1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0t0.5和1t2的平均速度v

h h(0.5)h(0)4.05(m/s)

0.50h(2)h(1)o8.2(m/s)

在1t2这段时间里,v2165探究: 计算运动员在0t这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49在0t0.5这段时间里,v(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数h(t)4.9t26.5t10的图像, 结合图形可知,h(t 65)h(0),所以v49h(65)h(0)490(s/m)

65049虽然运动员在0t65这段时间里的平均速度为0(s/m), 49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)f(x1)表示, x2x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 2.若设xx2x1, ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf则平均变化率为

xxx2x1x思考: 观察函数f(x)的图象

平均变化率

三、典例分析

例1 已知函数f(x)xx的图象上的一点A(1,2)及

临近一点B(1x,2y)则2ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1y . x

解: 2y(1x)2(1x)

y(1x)2(1x)23x

∴xx例2

求yx2在xx0附近的平均变化率. 解: y(x0x)2x0

22x02x0xx2x0y(x0x)2x0所以2x0x

xxx 所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

22四、课堂练习

1.质点运动规律为st3,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 .

2.物体按照s(t)3t2t4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线yf(x)x上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线, 求出当x0.1时割线的斜率.

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五、回顾总结

1.平均变化率的概念. 2.函数在某点处附近的平均变化率.

六、布置作业 P10 1.2.3