探究与发现 牛顿法──用导数方法求方程的近似解教学设计内容推荐

高中数学

人教A版

选修1-1

第三章

导数及其应用

3.2.2

探究与发现

牛顿法——用导数方法求方程的近似解

一、教学目标：

1.知识与技能

（1）复习和巩固用二分法求方程的近似解

（2）探究并总结牛顿法求方程的近似解

2.过程与方法

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）培养学生在数学学习的过程中的迁移，类比。

3.情感与价值观

让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。

二、教学重点、难点：

教学重点：牛顿法的迭代思想和过程。

教学难点：理解牛顿法的逼近和迭代原理。

三、学法与教学用具：

1.通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿法的迭代原理，提高了学生解决实际问题的能力；

2.教学用具：投灯片、多媒体。

四、教学过程：

（一）创设情景、导入课题（展示ppt，中外历史上的方程求解）

1.从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育，引起学生对我国古代数学的自豪感。

（二）复习巩固，启发引导

1.求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行交流。

2.（师生活动）提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。

3.思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？

4.学生回答问题，总结二分法的优缺点，并以其缺点入手，引出今天的课题，（板书主题：牛顿法——用导数方法求方程的近似解）。

〖设计意图〗学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿法进行类比提供了很好的基础。

（三）师生互动、探究新知

1.层层设问：

（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？

（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？

（3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？

（4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？

（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？

2.

归纳方法，总结整理（小组讨论，选一个小组先展示，老师再板书）

如何求r fxx32x210x20yOrx3x2x1x0x

给定函数为y=f(x)，迭代初始值为x0，其切线方程可以写为：

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，求其零点，令y=0，得x=x0-f(xn)。

f'(xn)f(x0)f(x0)'。将其表示为迭代公式，即xn+1=xn-3.研究精度，体验相对精确度

问题：zxnxn1相比zxnr的积极意义是什么？

xn1师生互动：0.9相对于1，99相对于100哪一个更好？

（四）讲练结合，巩固提高(学生展示) 32例1.利用牛顿法，求方程x2x10x200的近似解（精确度z00.02），小组内讨论记录下探究和计算的过程。

解令f(x)x32x210x20则f(x)3x24x10x1x0f(x0)f(x0)zx1x00.392x0f(x1)x2x11.6175f(x1)f(x2)x3x21.385689135f(x2)zx2x10.335x1zx3x20.143x2f(x3)x4x31.36881213215f(x3)此时zz0zx4x30.012x3所以方程的一个近似解为x1.36881213215

（五）归纳整理，算法思想

1.牛顿迭代法的核心思想是什么？根据总结出的牛顿迭代法的原理和步骤，画出迭代求解的算法框图。 2.各组学生进行讨论，将步骤转化为框图，然后进行实物展示，全班分析，完成到从自然语言到算法语言的提升和总结。

〖设计意图〗算法思想同样是本节课的核心思想之一，要求学生将解题方法以算法形

式整理完善，是对本节课思想方法上的完善。

（六）总结提高，学以致用

问题1：

例2用牛顿法求115的近似值精度z00.001解令f(x)x2115则fx2x取初始值x011f(x0)10.7272f(x0)取初始值x010f(x0)10.75f(x0)x1x00.075x0x1x0x1x0zzx1x00.392x0x2x1f(x1)10.723877f(x1)x2x1f(x1)10.72380583f(x1)zx2x10.00243x1zx2x10.00032x1x3x2f(x2)10.7238053f(x2)x3x20.0000067x2此时zz0z所以方程的一个近似解为10.72380583此时zz0所以方程的一个近似解为10.7238053

〖设计意图〗让学生体会不同初始值对牛顿法的影响:，分两大组研究，渗透竞争意识。

问题2：你认为牛顿法的优缺点是什么？

师：优点：速度较快，算法简单，精度高；

缺点：对初始值的选取很敏感，要求初始值相当接近真解。

问题3：总结牛顿法的基本流程。

师：求导——选初始值——利用迭代公式计算——计算精度——判断是否

zz0——是，写出解；否，返回第第3步——结束

四、实践作业

通过学习牛顿法——求方程的近似解，请将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式。