1.4.3 含有一个量词的命题的否定课堂实录【2】

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

教学过程：

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在. 二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定. （1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

分析：（1）否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2）否定：存在一个素数不是奇数；

（3）否定：xR，x2-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究

问题2：写出命题的否定

（1）p：

x∈R，x2＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1）

xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：

xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立.存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：

xM,有P（x）不成立. 用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定

词语

词语的否不是

定

至多有一词语

必有一个

至少有n个

个

所有x成立

立

定

五、巩固运用

例1

写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

（2）p：xR，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

（4）p：

x∈R，x2－x+1＝0；

分析：（1）

P：有的人不晨练；（2）

x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；

有

个

个

成立

成立

所有x不成

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

是

一定是

都是

大于

小于

且

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个

例2

写出下列命题的否定. （1）

所有自然数的平方是正数.

（2）

任何实数x都是方程5x-12=0的根.

（3）

对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

（4）

有些质数是奇数.

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数.

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根.

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0.

（4）的否定：所有的质数都不是奇数.

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”.在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.

六、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力. 七、课后练习

1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（

）

A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（

）

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

3．命题“xR，x2-x+3>0”的否定是

4．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若ABC是锐角三角形，

则ABC的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．