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圆锥曲线——弦长问题【知识清单】1、弦长公式（适用于椭圆、双曲线、抛物线）AB1k2x2x1(1k2)[(x1x2)24x1x2]（1）斜率不存在时，AB=y2y1；（2）当斜率存在且不为0时，弦长公式还可以写成：AB111yy(1)[(y1y2)24y1y2]2

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小结优质课教案

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圆锥曲线——弦长问题

【知识清单】

1、弦长公式（适用于椭圆、双曲线、抛物线）

AB1k2x2x1(1k2)[(x1x2)24x1x2]

（1）斜率不存在时，AB=y2y1；

（2）当斜率存在且不为0时，弦长公式还可以写成：

AB111yy(1)[(y1y2)24y1y2]

2122kk2、焦点弦：弦过圆锥曲线的焦点

（1）抛物线y22px的焦点弦公式：AB=x1x2p2p. 2sin

（2）通径：若焦点弦垂直于焦点所在的坐标轴，此时焦点弦也叫通径.

2b22b2椭圆通径：AB；双曲线通径：AB；抛物线通径：AB2p. aa【例题精讲】

x2y21的右焦点，交椭圆于A、B两点，求例1.（1）已知斜率为1的直线L过椭圆4弦AB的长. 答案

52y21的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求AB.（2）过双曲线x

（3）已知斜率为1的直线L过点（2,0），与抛物线y4x相交于A、B两点，求弦AB的长. 答案

（4）直线L：y3x3与抛物线y24x交于A、B两点，求弦AB的长. 答案：焦点弦，联立得：9x222x90，AB=x1x2p

22402. 99例2. （1）已知过点，斜率为

的直线与椭圆

相交于两点A，B，若

，求m的值．

【答案】

设直线AB的方程为

，

，消由可得

，

由

，解得

，

（2）过抛物线y22px(p0)焦点的直线交抛物线与A，B两点，若AB直线方程. 答案：①斜率不存在时，AB2p，舍去；

5p，求该2p20，

0恒成立. ②斜率存在时，联立方程得：kxp(k2)xk42222p(k22)5ABx1x2ppp，解之得：k24

2k2（3）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x4相交于两点A，B，若AB35，求抛物线的方程. 答案：设抛物线方程为y2ax，则联立方程得：2x(8a)x80. 利用弦长公式解方程得：a2或a18. 2检验=(8a)4280，即a16或a0，满足题意. 22例3. 已知点

（

，

），椭圆E：

的离心率为

，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为

，O

为坐标原点. （1）求椭圆E的方程；

（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程. [解析]（1）设F（c，0），由条件知2c233，得c=3，又e=，所以a=2,b=1。

32故E的方程为x24y21

（2）当lx轴时不合题意。设l:ykx2，P(x1,y1),Q(x2,y2)

将ykx2代入x24y21，得(1+4k2)x216kx120，

当0时，即k238k24k23，x1,2，

244k14k214k23从而|PQ|=k1|x1-x2|=，d=4k2122k14

所以OPQ的面积SOPQ144k23d|PQ|=224k14k2344k23因4k2344k234，当且仅当4k232，k7时等号成立，2且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为y7x2

关于本教案的常见问题

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