3.1.3 导数的几何意义教案2

3.1.2

导数的几何意义

一、教学目标：

1.知识与技能：

（1）使学生理解导数的几何意义．

（2）体会“数形结合、以直代曲”数学思想方法．

2. 过程与方法

渗透“逼近”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神； 3. 情态与价值观

通过揭示割线与切线之间的内在联系对学生进行辩证唯物主义的教育, 引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力．

二、教学重点.难点

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义．

三、学情分析

从知识上看，学生通过学***均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，也在思考导数的另一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识．从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．从学习心理上看，学生已经在生活中掌握了圆锥的切线，只是它的含义是公共点个数方面了解的，当然在思维方面，也形成了定势：直线与曲线相切，直线与内线只有一个公共点．

四、教学方法

从圆的切线的定义引入本课，再引导学生讨论一般曲线的切线的定义，通过几何画板的动画演示，得出曲线的切线的“逼近”法的定义．同样通过几何画板的实验观察和具体函数导数的计算得到导数的几何意义和直观感知“以直代曲”的数学思想．因此，我采用实验观察法、研讨教学法和信息技术辅助教学法相结合．五、教学过程

新课引入

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

1

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。

六、自主学习

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当P沿着曲线f(x)趋近于点n(xn,f(xn))(n1,2,3,4)P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是kn图3.1-2 f(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线xnx02

PT的斜率k，即klimx0f(x0x)f(x0)f(x0)

x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

[（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim斜率；

③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，即:f(x)ylim注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

(3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

典型例题：

x0f(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的xx0f(xx)f(x)

x

3

2例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. [(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

五、当堂检测

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

2．求曲线y

设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。

六、课堂小结

1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

七、课时练与测

八、教学反思

4 x在点(4,2)处的切线．