探究与发现 为什么截口曲线是椭圆第一课时教学设计

“三环教学模式研究”之复习课教学案

学习内容 椭圆 课时数 1

重点 ①

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程. ②

掌握椭圆的一些基本量．

难点 建立并掌握椭圆的标准方程，运用方程(组)或不等式求椭圆的基本量．

一、组织教学 抽查上堂课知识、复习与本堂相关知识、新课引入

1．椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；

③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)

y2x2a2＋b2＝1(a>b>0) 图形

范围

对称性

顶点

离心率

a，b，c的关系

－b≤x≤b －a≤y≤a

－a≤x≤a －b≤y≤b

性

质

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0) ce＝a，且e∈(0,1) c2＝a2－b2

3.点P(x0，y0)和椭圆的关系

x2y2x2y20000(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔2＋2<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔2＋2＝1. ababx2y200(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔2＋2>1.

ab

二、高效学习 （一）、师：展示学习目标、提出学习要求 生: 自主看书学习、标注重点难点

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、

离心率). 3.理解数形结合思想. 4.了解椭圆的简单应用．

（二）、组：讨论、互教、整理 班：展示、互评、争论

（师按照知识框架，板书要点内容）

题型1

椭圆的定义及其应用

例1 一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

解：如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.

则由圆相切的性质知，

CO1＝1＋r，CO2＝9－r，∴ CO1＋CO2＝10，

而O1O2＝6，

∴

点C的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其中2a＝10，2c＝6，b＝4. x2y2∴

动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. 2516变式1：

求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．

解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2，0)，r＝6. 设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C.

则BC－MC＝BM，而BC＝6，∴ BM＋CM＝6. 又CM＝AM，∴ BM＋AM＝6>AB＝4. ∴

点M的轨迹是以点B(－2，0)、A(2，0)为焦点、线段AB中点(0，0)为中心的椭圆．

a＝3，c＝2，b＝5.

x2y2∴

所求轨迹方程为＋＝1. 95注：求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常

数2a>|F1F2|这一条件．

题型2

椭圆的标准方程及其应用

例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1) 长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；

1(2) 经过两点A(0，2)和B，3. 2解：(1) 若椭圆的焦点在x轴上，

x2y2设方程为2＋2＝1 (a>b>0)．

ab9∵

椭圆过点A(3，0)，∴

2＝1，∴ a＝3. ax2又2a＝3·2b，∴ b＝1，∴

方程为＋y2＝1. 9y2x2若椭圆的焦点在y轴上，设方程为2＋2＝1 (a>b>0)．

ab9∵

椭圆过点A(3，0)，∴

2＝1，∴ b＝3. b又2a＝3·2b，

y2x2∴ a＝9，∴

方程为＋＝1. 819x2y2x22综上可知椭圆的方程为＋y＝1或＋＝1. 9819122(2) 设经过两点A(0，2)，B，3的椭圆标准方程为mx＋ny＝1，

24n＝1，m＝1，将A，B坐标代入方程得1n＝1，

m＋3n＝144y2∴

所求椭圆方程为x＋＝1. 42变式2：

x2y2已知椭圆＋＝1上有一点P，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P到10036两焦点的距离及点P的坐标．

解：设P(x，y)，左、右焦点分别是F1、F2，

c4∵ a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，

a5∴ |PF1|＋|PF2|＝2a＝20. 又|PF2|＝3|PF1|，

∴ |PF1|＝5，|PF2|＝15. 由两点间的距离公式可得

22（x＋8）＋y＝25，25解得x＝－. 224（x－8）＋y＝225，339代入椭圆方程得y＝±. 42533925339或－，－. 故点P的坐标为－，4444注：求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a、b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式．

题型3

椭圆的几何性质及其应用

x2y2例3 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|ab＝|F1F2|.求椭圆的离心率e；

解：(1) 设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，

因为|PF2|＝|F1F2|，所以（a－c）2＋b2＝2c. c2c整理得2＋－1＝0，

aacc11得＝－1(舍)，或＝. 所以e＝. aa22变式3：

x2y2已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上abac存在点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．

sin∠PF1F2sin∠PF2F1

答案： (2－1，1) 解析：由题意知点P不在x轴上，在△PF1F2中，

由正弦定理得|PF2||PF1|＝，

sin∠PF1F2sin∠PF2F1ac所以由＝，

sin∠PF1F2sin∠PF2F1可得ac|PF1|c＝，即＝＝e，

|PF2||PF1||PF2|a所以|PF1|＝e|PF2|. 由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，

所以e|PF2|＋|PF2|＝2a，解得|PF2|＝2a. e＋12a由于a－c<|PF2|2－1或e<1－2，所以e∈(2e＋1－1，

注：求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．

（三）、生：自主完成小练习

组：互助探究、订正答案 班：展示、互评、争论 师：启发解难

三、特别提示：师：考试和练习中常见错误提示\分析

四、知识过手：生：读背记忆性知识、互抽理解性知识

五、课后反思：师：收获和不足