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人教A版必修2第一章空间几何体

章末小结

1.空间几何体的结构特征

棱

柱

结构

(1)两个底面相互平行,其余各面都是平行四边形

(2)侧棱平行且相等

(1)两个底面相互平行

圆

柱

(2)侧面的母线平行于圆柱的轴

(3)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体

棱

锥

(1)底面是多边形,各侧面均是三角形

(2)各侧面有一个公共顶点

(1)底面是圆

圆

锥

(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体

(1)两个底面相互平行

棱

(2)用一个平行于棱锥底面的平台

面去截棱锥,底面和截面之间的部分

(1)两个底面相互平行

圆

(2)用一个平行于圆锥底面的平台

面去截圆锥,底面和截面之间的部分

(1)球心到球面上各点的距离相等球

(2)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

图例

2.三视图的放置方式是正(主)视图与侧(左)视图在同一水平线上,正(主)视图在左,侧(左)视图在右,俯视图在正(主)视图的正下方.

在画三视图时,务必做到正(主)视图与侧(左)视图高平齐,正(主)视图与俯视图长对正,俯视图与侧(左)视图宽相等.

3.画空间几何体的直观图时,要注意两点:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°).在已知图形中,平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x'轴或y'轴的线段,在已知图形中,平行于x轴的线段,在直观图中,长度保持不变,平行于y轴的线段,在直观图中,长度为原来的一半.

4.空间几何体的表面积与体积

(1)S柱表面积=S侧+2S底.

1

特别地,S长方体=2(ab+bc+ac),其中a、b、c分别是长方体的长、宽、高;

特别地,S圆柱表=cl+2πr=2πr(r+l),其中r、l和c分别是圆柱的底面半径、母线和底面圆的周长.

2(2)S锥表面积=S侧+S底.

特别地,S圆锥表=πr+πrl=πr(r+l),其中r和l分别是圆锥的底面半径和母线.

2(3)S台表面积=S侧+S上+S下.

特别地,S圆台表=π(r+r'+rl+r'l),其中r、r'和l分别是圆台的上底面半径、下底面半径和母线.

22(4)V柱=Sh,其中S和h分别是柱体的底面积和高.

特别地,V圆柱=πrh,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高.

2(5)V锥=Sh,其中S和h分别是锥体的底面积和高.

特别地,V圆锥=πrh,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高.

2

(6)V台=(S+

+S')h,其中S、S'和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.

特别地,

V圆台=π(r+rr'+r')h,其中r、r'和h分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.

22

(7)V球=πR,S球表面积=4πR,其中R是球体的半径.

32

题型一:空间几何体的结构特征

【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.

(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;

(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;

(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.

【方法指导】根据所给的几何体结构特征的描述,结合所学几何体的结构特征做出判断.

【解析】(1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以是棱锥.又其底面是凸五边形,所以是五棱锥.

(2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.

(3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.

【小结】解决此类问题的策略是紧扣相关几何体的结构特征进行有关的概念辨析,多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,培养空间想象能力和识图能力.

2

题型二:空间几何体的平面展开图

【例2】

一个长方体的同一个顶点出发的三条棱的长度分别是2,3,4,如图,一只蚂蚁欲从该长方体的一个顶点A处沿表面爬到该顶点所在的对角线的另一端C处,求最短的线路长.

【方法指导】求经过几何体的表面的距离最短问题,可以把几何体的表面平铺打开转化为平面上的两点距离的最短问题.

【解析】蚂蚁从A到C处需经过两个面,可分为三类情形讨论:

(1)沿正面到右面再到C处,最短距离为

=

;

(2)沿正面到上面再到C处,最短距离为

=

;

(3)沿左面到上面再到C处,最短距离为

=

.

所以最短的线路长为

.

【小结】将空间几何体的表面通过翻转展开变成平面图形,能更好地解决空间几何体的距离、面积问题.

题型三:空间几何体的三视图和直观图

【例3】

水平放置的△ABC利用斜二测画法得到直观图△A'B'C'(如图),其中A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,若测得A'B'=4,B'C'=5,求△ABC的面积.

【方法指导】由斜二测画法的规则先判断原图的形状,再根据线段长度之间的关系求其面积.

【解析】由A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,知△ABC为直角三角形,其中∠ABC=90°,由A'B'=4,B'C'=5,及斜二测画法的规则,得AB=8,BC=5,

所以S△ABC=·AB·BC=×8×5=20.

【小结】本题的关键就是将水平放置的平面图形的直观图还原为实际图形,其方法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x'轴的线段的长度不变,而平行于y'轴的线段的长度变为原来的2倍.

题型四:空间几何体的表面积和体积

【例4】如图,AB是半径为R的球的直径,C为球面上一点,且∠BAC=30°,求图中阴影区域构成的几何体的全面积及其体积.

【方法指导】该几何体的表面由外部球的表面、内部两个圆锥的侧面组成,分别计算相加;计算体积则是用球的体积减去两个圆锥的体积.

【解析】如图所示,过点C作CO1⊥AB于点O1,

由题意可得∠BCA=90°.又∵∠BAC=30°,AB=2R,

3

∴AC=

R,BC=R,CO1=

R,AO1=

R,BO1=

.∴S球=4πR2,

圆锥

侧

=π×

R×

R=

πR2,

圆锥

侧

圆锥

侧=π×

R×R=

πR2,

∴S几何体表=S球+

+

圆锥

侧=4πR2+

πR2+

πR2=

π

R2,

∴几何体的表面积为

π

R2.又∵V球=

πR3,

圆锥

=

BO1·πC

=

πR3,

圆锥

=

AO1·πC

=

πR3,

∴V几何体=V球-(

圆锥

+

圆锥

)=πR-πR=πR.

333

【小结】探究球及球内接几何体的表面积和体积问题,首先要找到球心所在的位置及与球内接几何体中的边角之间的关系,其次利用公式转化.

题型五:空间几何体的三视图、表面积与体积的综合应用

【例5】如图,已知几何体的三视图(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);

(2)求这个几何体的表面积和体积.

【方法指导】根据三视图确定空间几何体,画出直观图,再分析是由哪些简单几何体组成的,利用公式求出表面积和体积.

【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P构成的组合体.

由PA1=PD1=

,A1D1=AD=2,

可得PA1⊥PD1.

故所求几何体的表面积S=5×2+2×2×

+2××(

)=(22+4

) cm,

222

体积V=2+×(

)×2=10 cm.

323

【小结】根据三视图画出直观图是本题的关键,求组合体的表面积与体积必须分析直观图的结构特征.

4

题型六:多面体与旋转体的切、接问题

【例6】如图,一个几何体的三视图中正(主)视图和侧(左)视图为边长为2,锐角为60°的菱形,俯视图为正方形,则此几何体的内切球的表面积为(

).

A.2π

B.3π

C.4π

D.8π

【方法指导】过球心(高)及正四棱锥的斜高作截面,将其转化为平面图形的内切问题.

【解析】由三视图可知,该几何体为两个正四棱锥的组合体,且四棱锥的斜高恰好等于底面正方形的边长,过正四棱锥的高、斜高作平面,得轴截面,由内切知,球的半径r=1×sin 60°=,所以S球=4π×

=3π.

【答案】B 【小结】本题主要考查多面体与球的结构特征及空间的点、线、面间的位置关系,体现空间想象能力、转化与化归思想的应用.多面体与球接、切问题的求解策略:

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则4R=a+b+c求解.

2222

1.(2017年全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(

).

A.10 B.12 C.14 D.16

【解析】观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该

5

多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.故选B.

2.(2017年全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(

).

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

【解析】(法一:割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.

将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×3×4+π×3×6×=63π.

22

(法二:估值法)由题意知,V圆柱

项可知只有63π符合.故选B.

3.(2017年北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(

).

A.3

B.2

C.2

D.2

可知SD为该四棱锥的最长棱.由三视图可知正方体的棱长为2,故SD=

=2

.故选B.

【解析】在正方体中还原该四棱锥,如图所示,

6