3.1.2 共面向量定理优质课教案推荐

共面向量定理

教学目标：

知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；

利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；

过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用；

情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。

教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理

教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题

教学过程：

一。问题情景

1、空间向量线性运算

D C

E

A B

问题：如图，平行四边形ABCD中E为BC中点，AE可以由AB,AD线性表示吗？

师生共同活动

b

a

D p

A B C 如图：那么在空间中，如在长方体中，p能用a、b线性表示吗?

AC、AD在同一平面内pab

由相等向量的定义可知aAB,bAD,pAC，而AB、

从平面到空间，类比是常用的推理方法。

二、建构数学

1.共面向量的定义

一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量。

探究：(1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，那么空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．

例如：对于四面体ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．

(2)空间三个向量p,a,b具备怎样的条件时才是共面向量呢？

2.共面向量的判定

联想：在平面向量中，向量b与非零向量a共线的充要条件是ba，类比到空间向量，探究得到

共面向量定理 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y)，使得p=xa+yb

B 这就是说，向量p可以由不共线的两个向量a,b线性表示。

p

P b

M A´

a

A

作用：要证三个向量共面，只要证其中一个向量可以用其他两个向量线性表示。

分析定理

类比:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的,那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个定理相联系呢? 空间向量中的共面定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量a,b都可以平移到同一个平面,当a,b不共线时,可以作为基向量,向量p与它们共面,也就是向量p可以平移到这个平面,所以就能用a,b线性表示.

三、数学运用

练习1:判断正误

（1）在平面内共线的向量在空间不一定共线。

（2）空间的任意三个向量都共面。

（3）若pxayb　则p与a、b共面。

（4）若p与a、。

b共面则pxayb　

练习2．已知非零向量e1，e2不共线，如果ABe1e2,AC2e18e2,AD3e13e2

问A、B、C、D是否共面。

分析：要判断A、B、C、D四点是否共面，可考察三个向量AB,AC,AD是否共面。

探究:对于空间任意一点O,试问满足向量关系OPxOAyOB（其中x+y=1）的三点P、A、B是否共线?

例1．设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系OPxOAyOBzOC（其中x+y+z=1）

试问：P、A、B、C四点是否共面？

分析：要判断P、A、B、C四点是否共面，可考察三个向量AP,AB,AC是否共面。

思考：如果将x+y+z=1整体代入，由(xyz)OPxOAyOBzOC化简，你能得到什么结论？

三个不共线的向量a,b,c共面存在不全为零的实数x，y，z使xa+yb +zc=0

例2

如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM11BD,ANAE. 33求证：MN//平面CDE F E

N

A D

M

C B

小结：直线与平面平行可以转化为直线上的向量与平面内两个不共线的向量共面，同时要说明直线不在平面内。

思考：你能用其他方法来证明吗？试比较这两种方法的差异。

四、回顾反思

1、知识点：共面向量定理；

2、我们能用共面向量定理解决哪些常用问题呢？

3、思想方法：类比方法的运用。

五、课后作业

书P85-86

1,2,3,4,7,8,18