正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案（名师）

24.3正多边形和圆

教学内容

正多边形和圆

知识与能力

教学目标

过程与方法

情感态度价值观

教材序列

人教版九年级数学（上）P105-P108 主备课人

胡蓉

使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力； 进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想. 教学重点

讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系. 教学难点

通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系. 教学媒体

作图工具、多媒体课件及设备

教学过程设计

集体备课内容（共案）

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫正多边形？

2.从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

2.实例略.正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点.

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上.

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

我们以圆内接正六边形为例证明.

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形.

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴AB=BC=CD=DE=EF

自主修订内容（个案）

课时安排

课时

11

又∴∠A=2BCF=2（BC+CD+DE+EF）=2BC 11

∠B=2CDA=2（CD+DE+EF+FA）=2CD

∴∠A=∠B

同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆.

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心.

外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

例1.已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外ED接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积.

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，O已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与CF半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是由六AMB块正三角形面积组成的. 360

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于6=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.

因此，所求的正六边形的周长为6a 11

在Rt△OAM中，OA=a，AM=2AB=2a 11a2(a)22

利用勾股定理，可得边心距OM==23a 3a2 1133

∴所求正六边形的面积=6×2×AB×OM=6×2×a×2a=2

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形.

例2.利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形.

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径.

三、巩固练习

教材P106

练习1、2、3

P108

练习.

四、应用拓展

例3.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6.

（1）求△ABC的边AB上的高h. hDNNFhAB，当x取何值时，水池DEFN的面积

（2）设DN=x，且

最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出C另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形NF水池能避开大树. hDGEB

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，A再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值.（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题.

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1.正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距.

2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系.

3.画正多边形的方法.

4.运用以上的知识解决实际问题.

六、布置作业

1.教材P108

1、2、3、4、5、6..

2.选用课时作业设计. 板书设计

教

学

反

思

正多边形和圆

1.正多边形和圆的相关概念

例题解析

2.正多边形和圆的相关计算

3.利用圆画正多边形