1.1.2 四种命题国家获奖教案

第1课时

命题及其关系

1.结合实例了解命题的概念及命题的四种形式(即原命题、逆命题、否命题和逆否命题).

2.通过对实例的分析,理解四种命题间的相互关系和判断命题真假的方法.

有一家主人是一个不善言辞的木讷之人,一天主人邀请张三、李四、王五三人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事不能来了.”主人听到随口说了一句:“你看看,该来的没来.”张三听到,脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎,不该走的又走了.”李四一听大怒,拂袖而去,主人尴尬不知所措.

问题1:(1)张三和李四之所以生气走人,是因为主人的表达方式存在逻辑错误,“该来的没来”这句话等价于“

来的都是不该来的

”,“不该走的又走了”这句话等价于“

该走的没有走

”.

(2)一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断

真假

的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫作

真命题

,判断为假的语句叫作

假命题

.命题的常见形式是“

若p,则q

”,其中p叫作命题的

条件

,q叫作命题的

结论

.

问题2:四种命题

对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的

结论

和

条件

,那么我们把这样的两个命题叫作

互逆

命题.如果把其中的一个命题叫作

原命题

,那么另一个命题叫作

原命题的逆命题

.

对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

条件的否定

和

结论的否定

,我们把这样的两个命题叫作

互否

命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作

原命题的否命题

.

对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

结论的否定

和

条件的否定

,我们把这样的两个命题叫作

互为逆否命题

.如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作

原命题的逆否命题

.

问题3:四种命题之间的相互关系:

(1)原命题的形式:若p,则q;

原命题的否命题形式:

若¬p,则¬q

;

原命题的逆命题形式:

若q,则p

;

原命题的逆否命题形式:

若¬q,则¬p

.

¬p的含义是p的否定,

¬q的含义是q的否定.

¬p,

¬q分别读作非p,非q.

(2)图形关系

问题4:四种命题真假性的关系

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

逆否命题

真

真

假

真

真

假

假

假

说明:(1)原命题与逆否命题的真假性

相同

,否命题与逆命题的真假性

相同

;

(2)若两个命题互为逆命题(或互为否命题),则它们的真假性

没有

关系;

(3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

命题及其真假的判断

判断下列语句是否为命题.若是命题,则判断其真假.

①求证:

是无理数;②x2-2x+3≥0;③正三角形是等腰三角形吗?④x≤3;⑤方程x2+3x+3=0无实数解;⑥若G=ab,则a,G,b成等比数列.

2

四种命题间的关系

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断各命题的真假.

(1)若tan α<0,则α是第二象限角;

(2)角平分线上的点到角的两边距离相等;

(3)已知a,b,c∈R,若a,b,c成等比数列,则b=ac;

2(4)给出两个数x,y,若x>y,则|x|>|y|.

逆否命题的应用

求证:已知函数f(x)是在(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.

已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的

,则其体积缩小到原来的

;

②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;

③直线x+y+1=0与圆x2+y2=

相切.

其中真命题的序号是(

).

A.①②③

B.①②

C.①③

D.②③

考题变式(我来改编):

参考答案

知识体系梳理

问题1:(1)来的都是不该来的

该走的没有走

(2)真假

真命题

假命题

若p,则q

条件

结论

问题2:结论

条件

互逆

原命题

原命题的逆命题

条件的否定

结论的否定

互否

原命题的否命题

结论的否定

条件的否定

互为逆否命题

原命题的逆否命题

问题3:(1)若¬p,则¬q

若q,则p

若¬q,则¬p

问题4:真

真

假

真

真

假

假

假

(1)相同

相同

(2)没有

重点难点探究

探究一:【解析】

题号

是否为命题

分析

不是陈述句,因此不是命题

①

②

③

④

⑤

⑥

否

是

否

否

是

是

x2-2x+3=(x-1)2+2≥0恒成立,是真命题

不是陈述句,因此不是命题

虽是陈述句,但无法判断其真假,故不是命题

由于Δ=32-4×3=-3<0,故方程x2+3x+3=0无实数解,是真命题

若G=a=0,则a,G,b不是等比数列,故为假命题

【小结】判断一个语句是否为命题的一般思路:先看该语句是否为陈述句,如果不是陈述句,就不是命题,如果是陈述句,再看该语句能否判断真假,若能判断真假就是命题,否则不是命题.

探究二:【解析】(1)原命题是假命题,因为α也可能是第四象限角.

逆命题:若α是第二象限角,则tan α<0.它是真命题.

否命题:若tan α≥0,则α不是第二象限角.它是真命题.

逆否命题:若α不是第二象限角,则tan α≥0.它是假命题.

(2)原命题是真命题.

逆命题:到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它是真命题.

否命题:不在角平分线上的点到角的两边距离不相等.它是真命题.

逆否命题:到角的两边距离不相等的点不在角平分线上.它是真命题.

(3)原命题是真命题.

逆命题:已知a,b,c∈R,若b=ac,则a,b,c成等比数列.它是假命题.

2否命题:已知a,b,c∈R,若a,b,c不成等比数列,则b≠ac.它是假命题.

2逆否命题:已知a,b,c∈R,若b≠ac,则a,b,c不成等比数列.它是真命题.

2(4)原命题是假命题,当x=-1,y=-2时,|x|<|y|.

逆命题:给出两个数x,y,若|x|>|y|,则x>y.它是假命题.

否命题:给出两个数x,y,若x≤y,则|x|≤|y|.它是假命题.

逆否命题:给出两个数x,y,若|x|≤|y|,则x≤y.它是假命题.

【小结】(1)写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论,若原命题不是“若p,则q”的形式,则应改写成“若p,则q”的形式,并写出条件和结论的否定.(2)四种命题的真假性之间的关系:①若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性;②若两个命题互为逆命题或互为否命题,则它们的真假性没有关系;③四种命题为真命题的个数只能为0,2,4.

探究三:【解析】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是在(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)

若a+b<0,则a<-b,b<-a.

因为f(x)是在(-∞,+∞)上的增函数,

所以f(a)

所以f(a)+f(b)

因为原命题的逆否命题为真命题,

所以原命题为真命题.

【小结】命题的四种形式之间的关系,提供了一个判断命题真假的变通手段.因为互为逆否的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命题不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

全新视角拓展

【解析】因为球的体积公式V=πR,所以①正确;两组数据的平均数相等,标准差不一定相等,如0,0,0与3

100,0,-100,所以②错;圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d===r,所以③正确.故选C.

【答案】C