1.2.1 充分条件与必要条件课时教案

充分条件与必要条件

（一）教学目标

1、知识目标：正确理解充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义。会判断命题的充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件。通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假。

2、能力目标：通过对充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质。

3、情感目标：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育。激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。

（二）教学重难点

重点：（1）正确掌握充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的概念。

（2）正确运用四种条件的定义进行解题。

难点：如何正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，尤其是区分充分不必要条件和必要不充分条件。

（三）教学过程

教师：上课之前我们先来看两个例子，

实例1：早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”。

实例2：生活中也有这样的逻辑：

（1）灾后重建的新面貌，充分说明社会主义制度非常优越。

（2）要想在高考中取得好成绩，平时的努力学习是必要的。

（在数学中这是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题：充分条件与必要条件。）

板书：充分条件与必要条件

(前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，有的命题是真命题，有的命题是假命题。请同学们判断这两个命题的真假。第一个是真命题还是假命题？第二个

呢？) (1)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。 真命题

(2)若a b = 0，则 a = 0。 假命题

思考：如何准确地刻画命题的条件与结论之间的关系？

（对于一个命题来说，它的条件与结论之间存在什么样的关系呢？）

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理可以得出q，

记作pq，符号“”叫做推断符号。

（也就是说，如果p成立，那么q一定成立。）

此时，我们就说：p是q的充分条件，q是p的必要条件。

如果“若p，则q”为假命题, 那么由p推不出q，记作p q。

此时，我们就说：p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。

(1)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。 真命题

即：两个三角形全等这两个三角形的面积相等

所以，“两个三角形全等”是“这两个三角形的面积相等”的充分条件，

“两个三角形的面积相等”是“这两三角形全等”的必要条件。

(2)若a b = 0，则 a = 0。 假命题

即：a b = 0

a = 0 所以，“a b = 0”不是“a = 0”的充分条件，

“a = 0”不是“a b = 0”的必要条件。

如何正确理解充分条件与必要条件？

由充分条件与必要条件的定义可知，“pq”即：如果具备了条件p，就足以保证结论q成立，所以p是q的充分条件。

这一点容易理解。但为什么又说q是p的必要条件呢？

我们把由p推出q看做原命题，那么它的逆否命题是由非q推出非p。这就说明，如果q不成立，那么p也不成立，所以q的成立对于p的成立来说是必要的。

对于必要条件的理解，我们可以看一个例子。命题“若x>3，则x>2”是真命题还是假命题？它的逆否命题是什么？

根据原命题与逆否命题的等价性，原命题是真命题，那么它的逆否命题一定也是真命题。这就是说，要使x>3成立，就必须使x>2成立。所以，我们说“x>2”是

“x>3”成立的必要条件。

等价命题原命题：若x>3，则x>2。

真命题

逆否命题：若x>2不成立，则x>3不成立。

真命题

所以，“x>2”是“x>3”的必要条件。

【补充生活实例】p:鱼缸里的鱼能存活 q:鱼缸里有水

（鱼缸里的鱼能存活充分说明了鱼缸里有水，所以，p是q的充分条件。

同时，要使鱼缸里的鱼能存活，鱼缸里有水是必要的，所以，q是p的必要条件。）

（根据定义，要判断p是不是q的充分条件，关键是看由p能否推出q，也就是看命题“若p，则q”是真命题还是假命题。先看第一个命题，这个命题中的p指的是什么？q指的是什么？命题（1）是真命题还是假命题？所以，命题（1）中的p是不是q的充分条件？）

例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x24x30；

（2）若x为无理数，则x2为无理数。

解：命题（1）是真命题,所以，命题（1）中的p是q的充分条件。

命题（2）是假命题，所以，命题（2）中的p不是q的充分条件。

思考：对于命题(1)，我们可不可以说:q是p的必要条件呢？

答:可以。

练习1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）

若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

（2）

若x5，则x10。

（根据定义，要判断q是不是p的必要条件，关键是看由p能否推出q，也就是看命题“若p，则q”是真命题还是假命题。先看第一个命题，这个命题中的p指的是什么？q指的是什么？命题（1）是真命题还是假命题？所以，命题（1）中的q是不是p的必要条件？）

例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

(1) 若x=y，则x2=y2；

(2) 若a>b，则ac>bc。

解：命题（1）是真命题，所以，命题（1）中的q是p的必要条件。

命题（2）是假命题，所以命题（2）中的q不是p的必要条件。

练习2:下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）

若a5是无理数，则a是无理数；

（2）

若(xa)(xb)0，则xa。

巩固提高

判断下列命题的真假: (1)“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件。 真命题

p q a=2，b=3  a+b=5

（2）“两直线平行”是“内错角相等”的必要条件。

真命题

q p 内错角相等 

两直线平行

(再来看这两个题目，第1题，我们可以把a=2，b=3看做p，把a+b=5看做q，要判断p是不是q的充分条件，关键是看由p能不能推出q，很明显，由a=2，b=3能不能推出a+b=5，能，所以，第1个命题是真命题还是假命题？)

（四）课堂小结

1.充分条件与必要条件的概念。

2.判别步骤：

(1)分清条件和结论，找出p和q；

(2)判断命题“若p，则q”

的真假；

(3) 根据定义下结论：

如果“若p，则q”是真命题，那么pq ，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

如果“若p，则q”是假命题，那么pq，p不

是q的充分条件，q不是p的必要条件。

（五）布置作业

课本第10页，练习的第4题。