3.1.3 空间向量的数量积运算教案和学案内容

【教学目标】：

（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律

（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明

（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。

【教学重点】：

空间向量的数量积运算

【教学难点】：

空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

一．温故知新

1、平面向量的数量积

（1）一起复***面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题. （2）夹角（3）运算律

复习旧知识，为新知识做铺垫，让学生可以非常容易的接收空间向量的数量积概念。

二．新课讲授

1）类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: b,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则角已知两个非零向量a、AOB叫做向量a与b的夹角,记作:a,b. ⑴范围:0≤a,b≤

a,b=0时,a与b同向; a,b=π时,a与b反向

⑵a,b＝b,a

2,则称a与b垂直,记为ab

⑶如果2）两个向量的数量积

b,则已知空间两个非零向量a、ab. ababcosa,babcosa,ba,b叫做a、b的数量积,记作 即. 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

类比平面向量,归纳出ab的几何意义。

(3)空间两个向量的数量积性质

b,e是单位向量有下列性质: 显然,对于非零向量a、aeacosa,e①；

②abab0;

③也就是说. 注：性质②

是证明两向量垂直的依据；

性质③是求向量的长度（模）的依据；

空间向量的数量积满足的运算律

师生共同探究讨论得出结论：

交换律: 数乘结合律：

向量数量积不满足结合律

分配律： 解析并证明分配率。

课堂练习：

1.已知a22,b2,ab22, aaa2aa2则a与b的夹角大小为_____. 2.判断真假: 1)若ab0,则a0,b0 ( )

2)(ab)ca(bc)3)pq22((2)))(pq)224)pqpqpq(

练***行六面体 ABCDABCD中

AD3,AA5,BAD90,BAADAA60

求对角线AC’的长。

练习巩固: 1.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：

①(a·b)c(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|ab| ③(b·c)a(c·a)b不与c垂直



④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2- 42中,真命题是( ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④

baba1,b2,ab3a,b2.已知向量满足,则_____.

3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 α 内,BD⊥AB,线段AC ⊥平面α ,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离. A4.如图，在空间四边形ABCD中，AB2，

BC3，BD23，CD3，ABD30，

ABC60，求AB与CD的夹角的余弦值

BDC另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零. 例题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的摄影垂直，那么它已和这条斜线垂直。

三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？

也写出已知，求证，并一起分析: 同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. 例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面α内的两条相交直线, 如果

直线l⊥m, 直线l ⊥n,求证: 直线 l⊥平面α.

小

结：

通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等.