3.2.1 几个常用函数的导数教案和学案内容

§3.2.1几个常用函数导数

【使用课时】：1课时

【学习目标】：

1.握四个公式，理解公式的证明过程；

2.学会利用公式，求一些函数的导数；

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题

【学习重点】：四种常见函数yc、yx、yx2、y1的导数公式及应用

x【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】：

一、课前准备

（预习教材P81~ P82，找出疑惑之处）

复习1：导数的几何意义是：曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

复习2：求函数yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量y

y（2）求平均变化率

x（3）取极限，得导数y/＝f(x)lim二、新课导学

学习探究

探究任务一：

1．利用导数定义求函数yf(x)c的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.

2．利用导数定义求函数yf(x)x的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义. [来源学科网ZXXK]y

=

x0x

3．利用导数定义求函数yf(x)x的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.

4．利用导数定义求函数yf(x)

5．利用导数定义求函数y

21的导数. xx的导数.

6．你能从一般角度推广函数yf(x)xn(nQ*)的导数吗？

探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

典型例题

1例

画出函数y的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方x程.

变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.

变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.

小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.

当堂检测

练1. 求曲线y2x21的斜率等于4的切线方程.

练2. 求函数yf(x)x的导数

学习小结

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

，

，

. 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. ※

知识拓展

微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”

三、课后练习与提高

1.f(x)0的导数是（

）

A．0

B．1

C．不存在

D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（

）

A．0

B．2x

C．6

D．9 3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为的点为（

）

4

1111A．(0,0)

B．(2,4)

C．(,)

D．(,)

4162414. 过曲线y上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

x5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为

，在t4时的速度为

. 6. 已知圆面积Sr2，根据导数定义求S(r).

7.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A(t)5000.834t，问氡气的散发速度是多少？