3.1.2 导数的概念名师教学设计1

3.1.2导数的概念

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

教学目标

2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数. 教学重点

教学难点

课前准备

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.

导数的概念.

多媒体课件

一、【创设情境】

1、平均变化率

2、探究

计算运动员在0t6549这段时间里的平均速度,并思考以下问题: h (1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

2h(t)4.9t6.5t10的图像, 探究过程: 如图是函数o结合图形可知,h(65)h(0)49, t h(v所以65)h(0)490(s/m)65049

0t6549这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动,虽然运动员在并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 二、【新知探究】

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况:

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思考: 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

结论: 当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值13.1. 从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1t0t为了表述方便,我们用

lim表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于定值13.1”

小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. 2.导数的概念

从函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是: x0limf(x0x)f(x0)flimx0xx

'y'|xx0xxf(x)yf(x)00我们称它为函数在出的导数,记作或

即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)x

说明: (1)导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率;

(2)xxx0,当x0时,xx0,所以

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f(x0)limx0f(x)f(x0)xx0.

例题

2y3x例1 (1)求函数在x1处的导数. 2f(x)xx在x1附近的平均变化率,并求出该点处的导数. (2)求函数yylim分析: 先求fyf(x0x)f(x0),再求x,最后求x0x. 解: (1)法一

定义法(略) 3x23123(x212)y|x1limlimlim3(x1)6x1x1x1x1x1

法二

y(1x)2(1x)23xx(2)x

y(1x)2(1x)2f(1)limlim(3x)3x0xx0x

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第2xh时,原油的温度(单位:C)为f(x)x7x15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. ''解: 在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)

f(2x)f(x0)fx根据导数定义x

(2x)27(2x)15(227215)x3x

所以f(2)limflim(x3)3x0xx0

同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5, 说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h的速率下降

在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升. 'f注: 一般地,(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 课堂练习

21.质点运动规律为st3,求质点在t3的瞬时速度为. 3yf(x)x2.求曲线在x1时的导数.

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3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 四、【课堂小结】

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念.

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