复习参考题教学设计和教学实录

学习目标

1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.

知识点一

椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

平面内与两个定点F1，F2定义

的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹

x2y2y2x2＋＝1或2＋2＝a2b2ab1(a>b>0)

a2－b2＝c2

封闭图形

双曲线

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹

x2y2y2x2－＝1或2－2＝a2b2ab1(a>0，b>0)

a2＋b2＝c2

无限延展，但有渐近线y图形

变量

范围

对称性

顶点

离心率

决定形状的

因素

四个

ce＝，且0

ae决定扁平程度

ba＝±x或y＝±x ab|x|≥a或|y|≥a 抛物线

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的轨迹

y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)

无限延展，没有渐近线

x≥0或x≤0或y≥0或y≤0

无对称中心

一条对称轴

两个

ce＝，且e>1

ae决定开口大小

一个

e＝1 2p决定开口大小

标准

方程

关系式

|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b 对称中心为原点

两条对称轴

x2y2知识点二

椭圆的焦点三角形

设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，abF2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图).

α(1)焦点三角形的面积S＝b2tan . 2(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. 知识点三

双曲线及渐近线的设法技巧

1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，x2y2x2y2即可得到两条渐近线的方程.如双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，ababy2x2y2x2b>0)，即y＝________；双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为2－2＝0(a>0，b>0)，abab即y＝________. xy2.如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为________________. ab知识点四

求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 知识点五

三法求解离心率

1.定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，c都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，a这是基本且常用的方法. 2.方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法. 3.几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 知识点六

直线与圆锥曲线位置关系

1.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行. 2.直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.

类型一

圆锥曲线定义的应用

x2y2x22例1

设F1，F2为曲线C1：＋＝1的左，右两个焦点，P是曲线C2：－y＝1与C1的623一个交点，则△PF1F2的面积为(

) 1A.22

B.2

C.1

D.

2反思与感悟

涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. x22x22跟踪训练1

已知椭圆＋y＝1(m>1)和双曲线－y＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它mn们的一个交点，则△F1PF2的形状是(

) A.锐角三角形

C.钝角三角形

类型二

圆锥曲线的性质及其应用

x2y2x2y2例2

(1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与ababC2的离心率之积为A.x±2y＝0

C.x±2y＝0

2B.直角三角形

D.随m，n变化而变化

3，则C2的渐近线方程为(

) 2B.2x±y＝0 D.2x±y＝0 x22(2)已知抛物线y＝4x的准线与双曲线2－y＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若a△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________. 反思与感悟

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解. x2y2跟踪训练2

双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(

) abA.2

C.2

B.3 3D.

2

类型三

直线与圆锥曲线的位置关系

x2y2例3

已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为22，离心ab率为2. 2(1)求椭圆的标准方程；

(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，直线l的斜率k的值.

反思与感悟

解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：

(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围. →跟踪训练3

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且AB与n＝(2，－1)共线. 3)满足|MA|＝|MB|，求7

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.