正弦定理、余弦定理和解斜三角形全国优秀课堂实录

课题

5.6 (1)正弦定理

课型

新授课

教学目标

1、体验由已知到未知、由特殊到一般的方法得到正弦定理的过程；

2、深刻理解任意三角形的边角数量关系并会运用正弦定理解三角形；

3、通过对正弦定理的探索和证明，感受数学论证的严谨性.

重点

正弦定理的推导及其应用

难点

正弦定理的推导及其应用

教学准备

教学过程：

一、准备：

回顾：初中时，我们已学习了锐角三角比的意义，锐角A、B的正弦是如何定义的呢？

ab,sinB. ccababc由上两式可求得：==c，即==，

sinAsinBsinAsinB1abc因为sinCsin901，所以==.上式结构独特，是在RtABCsinAsinBsinC中得出的，若ABC不是直角三角形，上述结论是否还成立呢？

在RtABC中，C90，锐角A的正弦：sinA二．研讨：

1、探究

▪

可以先看一些特殊角的三角形的例子：

abc==

sinAsinBsinC（2）如图，在ABC中，

A=120，B=C=30. A（1）在ABC中，ABC60，则有：

▪

利用几何画板进行数学实验：

（1）画出一个ABC，度量出它的三边长度和三个角的B度数，计算显示CDabc，，的值. sinAsinBsinCabc，，的sinAsinBsinC（2）不断拖动ABC的一个顶点，改变ABC的形状，观察值的变化情况. （3）由实验得出猜想：对任意ABC，总有

▪

上述猜想是否正确，可以分三种情况证明：

abc==成立. sinAsinBsinC（1）如果ABC为直角三角形（不妨设C90），则由上面的讨论可知，结论成立（2）如果ABC为锐角三角形，

A（3）如果ABC为钝角三角形（不妨设C90），

2、得出结论：在一个三角形中，各边和它所对的正弦比相等.即在ABC中，

abc==.这样的结论叫做正弦定理. sinAsinBsinCBDC一般地，ABC的三个角A、B、C和它们所对的边a、b、c叫做ABC的元素.已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.

3、巩固：

例1 在ABC中，已知A45,B105,c10cm，解三角形.

例2 在ABC中，B=60，b2cm，c1cm，解三角形（边长精确到0.1cm，角度精确到1.）

例3.ABC中，已知a8,B30，（1）若b4，求c；（2）若b42，求c；

（3）若b8，求c。

例4.在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a6,b53,B（1）求sinA；（2）求cos(BC)cos2A的值.

四、课堂小结

1、正弦定理的两个应用：（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素.

2. 3

课题

5.6 (2)余弦定理

课型

新授课

教学目标

1、体验由已有知识推导计算的方法得到余弦定理的过程；

2、深刻理解任意三角形的边角数量关系并会运用余弦定理解三角形；

3、通过对余弦定理的探索和证明，感受事物间的辨证关系.

重点

余弦定理的推导及其应用

难点

余弦定理的推导及其应用

教学准备

教学过程：

一、准备：

（1）练习中按已知条件的不同可以分为几类？

（2）不同类型的习题的解题步骤是怎样的？

（3）三角形中，①若已知：a、B、C，如何解三角形？

②若已知：a、B、A，如何解三角形？

③若已知：a、b、A，如何解三角形？

二．研讨指导：

1、提出问题：

下面问题如何求解：

（１）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；

（２）已知三边，求三个内角. 2、余弦定理推导：

用勾股定理或两点距离公式

在ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求BC

如图：aCDBD=(bsinA)2(cbcosA)2

=bsinAcbcosA2bccosA

=bc2bccosA

同理：bac2accosB

2222222222222CjADBc2a2b22abcosC

钝角三角形亦可证得上述结论. 形成定理：

在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

特例：勾股定理

3、反馈：

例1

ABC中，已知a3cm,b5cm,C120,，解三角形（边长精确到1cm，角度精确到0.1）.

例2：在ABC中，已知a4cm,b5cm,c6cm,解三角形.

例3．山上有一塔，塔高为尺，自山下地面某点测得塔顶仰角为75，塔底仰角为45，求山的高度。

例4上海金茂大厦是改革开放以来的上海超高层标志性建筑。有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的B处测得金茂大厦顶部A的仰角为15度，再向金茂大厦前进500米到C处，测得金茂大厦顶部A的仰角为22度，他能否算出金茂大厦的高度？若能算出，请计算其高度（精确到1米）

．

四、课堂小结：利用余弦定理可以解决下面两类问题：

1、

已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；

2、

已知三边，求三个内角.



课题

5.6 (3)解斜三角形

课型

教学目标

1、加深理解正弦定理和余弦定理的内容；

2、体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程；

3、通过对余弦定理的探索和证明，感受事物间的辨证关系.

重点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

难点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

教学准备

教学过程：

一、准备：

1、正弦定理及其变形：

在ABC中有------------： 2、正弦定理的两个应用：

（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；

（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 3、余弦定理及其变形：在ABC中有：-------------------------------

4、

余弦定理的两个应用：

（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；

（2）已知三边，求三个内角. 二．反馈：

例1、已知ABC中，A60，a3,求

例2、在ABC中，c43,a26,b623，求A,B,C。

0新授课

abc

sinAsinBsinCb2c2a2例3已知ABC的面积S，则A_____

4准备：在ABC中，sinAsinB是AB的（ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

例4判断三角形形状

（1）ABC中，若atanBbtanA，试判断三角形ABC的形状。

（2）ABC中，若tanAtanB<1,则此三角形的形状是___________________

22

(3)满足acosAbcosB，试判定△ABC的形状.

（

(4)若sinAsinBcosAcosB2sinC

试判断ABC的形状。

例5.，已知a8,B30，（1）若b4，求c；（2）若b42，求c；

（3）若b8，求c。

BC（2）在A及A,C

四、课堂小结

中，求边b,c

a26,B45,并且三角形的面积为SABC623，

课题

5.6 (3)解斜三角形（2）

课型

新授课

教学目标

1、加深理解正弦定理和余弦定理的内容；

2、体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程；

3、通过对余弦定理的探索和证明，感受事物间的辨证关系.

重点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

难点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

教学准备

教学过程：

一、准备：

1、正弦定理及其变形：

2、余弦定理及其变形：：

例1：ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，且a5,b3,sinC2sinA. （1）

求c的值；（2）求sin(2A

例2、在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c. （1）若c2，C3)的值. 3，且△ABC的面积S3，求a,b的值；

（2）若sinCsin(BA)sin2A，试判断△ABC的形状.

练习1.在△ABC中，锐角所对边b7cm，外接圆半径R求另两边长.

例3、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x);且在3,2上是减函数，若

，732面积S103cm，cm，3是锐角三角形的两个内角，则（

）

A、

f(sin)f(cos)

B、f(sin)f(cos) C 、f(sin)f(sin)

D、f(cos)f(cos)

例4、在ABC中，设f(x)a2x2(a2b2)x4c2

（1）

若f(1)0且BC

练2、如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进3，求角C的大小；

（2）若f(2)0，求角C的取值范围；

4km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．

（1）若2600，问该船有无触礁危险？

如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向

东航行多少距离会有触礁危险？

（2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？

例5、假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为620’，AC长为1.40米，求货物开始下滑时AC的长。

北

α

A β

B C M

例6、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x);且在3,2上是减函数，若

，是锐角三角形的两个内角，则（

）

A、

f(sin)f(cos)

B、f(sin)f(cos) C 、f(sin)f(sin)

D、f(cos)f(cos)

例7、我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？

例8、如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB．小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD．

已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．

若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．

四、课堂小结

课题

5.6 (3)解斜三角形（3）

教学目标

1、加深理解正弦定理和余弦定理的内容；

2、体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程；

3、通过对余弦定理的探索和证明，感受事物间的辨证关系.

重点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

难点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

教学准备

教学过程：

一、准备：

课型

新授课

1．在ABC中，b7,c7,A60，则SABC 2．在平行四边形ABCD中，AB20,B120,AD30，则BD= ，平行四边形的面积是 3．在ABC中，sinAsinBsinC，则此三角形为 三角形。

4．在ABC中，B45,C60,c1，则最小边的边长为（ ）

222A、1663 B、 C、 D、

23225．在ABC中，B60,b2ac，则ABC为（ ）

A、直角三角形 B、锐角但非等腰三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

二．反馈：

13tanB，，且△ABC最大边的长为17，则△ABC45最小边的长为____________．2

例1．在△ABC中，已知tanA

例2.△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c. （Ⅰ）若c2，C

例3．某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段3（Ⅱ）若sinCsin(BA)sin2A，试判断△ABC的形状.

，且△ABC的面积S3，求a,b的值；

OSM，该曲线段为函数yAsinx（A0，0），x[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP2．

3（1）求A，的值和线段MP的长；

（2）设PMN，问为何值时，才能使折线段赛道MNP最长？

y S

M 23



O 3

4

N P 8

x 例4

如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）（精确到1mm）

，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a2,例4在△ABC中，a，bCπ，4cosB25，求△ABC的面积S．

25

例5 修建铁路时要在一个山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482。80米，CB=631。50米，角ACB=56。3度；又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80。13米，40。24米（A、D、E、B在同一直线上）。求隧道DE的长（精确到1米）

例6.如图所示，某人在斜坡P处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，tan1

2（1）以射线OC为Ox轴的正向，OB为Oy轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD所在直线方程；

（2）当观察者P视角∠APB最大时，求点P的坐标（人的身高忽略不计）.

O OyB A P C D x

3c．

5B、C所对的边长，例7.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A、且acosBbcosA（1）求：tanA的值；

tanB0（2）若A60，c5，求a、b．

例8已知a、b、c是△ABC中A、B、C的对边,a43,b6，cosA（1）求c；

（2）求cos(2B1．

34)的值．

课题

5.6 (3)解斜三角形作业讲评（1）

教学目标

1、加深理解并区分正弦定理和余弦定理的应用；

2、进一步认识到应用正余弦定理的作用；

3、通过转化，体会正余弦定理之间的辩证关系。.

重点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

难点

利用正弦定理余弦定理解斜三角形

教学准备

教学过程：

一、准备

1、正弦定理及余弦定理在应用中的具体条件：

2、正弦定理余弦定理在应用中的不同方法。

二．新课学习：

1、实例分析

十八A 课型

新授课

1．在ABC中，a5,B45,C30，则c 2．在ABC中，a3,b7,C150则c 3．在ABC中，b7,c7,A60，则SABC 4．在平行四边形ABCD中，AB20,B120,AD30，则BD= ，平行四边形的面积是 5．在ABC中，sinAsinBsinC，则此三角形为 三角形。

6．在ABC中，B45,C60,c1，则最小边的边长为（ ）

222A、

1663 B、 C、 D、

23227．在ABC中，B60,b2ac，则ABC为（ ）

A、直角三角形 B、锐角但非等腰三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

8．在ABC中，sinAsinB是AB的（ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

9．解下列三角形：

（1）在ABC中，a23,c2,C30

；（2）在ABC中，a1,b2,c3

（3）在ABC中，B45,C60,b35；（4）在ABC中，ab4,C30

10．已知在ABC中，B45，D是BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB。

11．山上有一塔，塔高为尺，自山下地面某点测得塔顶仰角为75，塔底仰角为45，求山的高度。

4.如图所示，某人在斜坡P处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，tan1

2（1）以射线OC为Ox轴的正向，OB为Oy轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD所在直线方程；

（2）当观察者P视角∠APB最大时，求点P的坐标（人的身高忽略不计）.

三、巩固练习

练习变式

四、课堂小结

五、课外作业

练习卷

课后记

O OyB A P C D x