3.1.3 空间向量基本定理ppt课件教学实录

3.1.3

空间向量基本定理

教学目标：

1．掌握空间向量基本定理及其推论；

2．

理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示； 3．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．

教学重点：

空间向量基本定理．

教学难点：

理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示及其惟一性．

教学方法：

新授课、启发式一一引导发现、合作探究．

教学过程：

一、问题情境

平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，那么，空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗？

二、学生活动

1．复***面向量的基本定理；

2．类比思考得出空间向量的基本定理．

三、建构数学

1．复***面向量基本定理的内容及其理解；

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

1

e2ae1

2．类比平面向量基本定理，得出空间向量基本定理．

（1）空间向量的基本定理．

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3．

证明：（存在性）设e1，e2，e3不共面，

过点O作OA＝e1，OB＝e2，OC＝e3，OP＝p，

过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；

在平面OAB内，过点P作直线PA∥OB，PB∥OA分别与直线OA，OB相交于点A，B于是，存在三个实数x，y，z，使

OA＝'OA＝xe1，OB＝'OB＝ye2,OC＝'OC＝ze3

∴OP＝OA＋'OB＋'OC＝'xOA＋yOB＋zOC

所以p＝xe1＋ye2＋ze3．

（惟一性）假设还存在x，y，z，使p＝xe1＋ye2＋ze3

∴xe1＋ye2＋ze3＝xe1＋ye2＋ze3

∴(x－x)e1＋(y－y)e2＋(z－z)e3＝0

y－yz－ze2－e3

不妨设x≠x即x－x≠0 ∴e1＝－x－xx－x∴e1，e2，e3共面与已知矛盾．

2

∴该表达式惟一．

综上两方面，原命题成立．

（2）若三向量e1，e2，e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}叫做空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量．

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．

推论

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC．

四、数学运用

1．例题．

例1

如图，在正方体OADB－CADB中，点E是AB与OD的交点,M是OD与CE的交点，试分别用向量OA，OB，OC表示OD'和OM．

B’

C’

M

B

E

O

A

D

A’

D’

'OA＋OB＋OC

解：OD＝111OM＝OA＋OB＋OC．

333例2

如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA，OB，OC表示向量OG．

3

OMGCNAB

解：OG＝OM＋MG

2＝OM＋MN

312 ＝OA＋(ON－OM)

231211 ＝OA＋[(OB＋OC)－OA]

2322111 ＝OA＋(OB＋OC)－OA

233111 ＝OA＋OB＋OC

633111 ∴OG＝OA＋OB＋OC

6332．练习．

（1）作业：课后练习1，2，3．

AB＝b，（2）如图，空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，已知AA1＝a，AC＝c，且M是BC1的中点，N在AC1上，AN＝2NC1,试用向量a，b，c表示MN．

4

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1．掌握空间向量基本定理及其推论；

2．

理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示； 3．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量；

4．思想方法上，我们采用了类比的思想由平面向量的基本定理扩展到空间向量的基本定理；

5．空间向量要注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．

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