3.1.5 空间向量的数量积第一课时评课稿

空间向量的数量积教学设计

江苏省奔牛高级中学

范玉科

一、教学目标

1、掌握空间向量数量积的公式以及向量的夹角公式；

2、掌握空间向量数量积的运算律；

3、会用空间向量的数量积公式以及向量的夹角公式解决立体几何中的有关问题. 二、教学重难点

教学重点

1、空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

2、空间向量的数量积公式以及向量夹角公式在立体几何中的应用. 教学难点

3、空间向量的数量积公式以及向量夹角公式在立体几何中的应用. 三、教学过程

1、问题情境

师：根据功的计算公式，我们定义了平面向量的数量积，我们可以利用平面向量的数量积来解决哪些问题呢？

生：利用平面向量数量积可以解决有关垂直、长度以及角度等问题. 设计意图：通过复***面向量数量积引出本节内容. 师：类似地，我们可以定义空间向量的数量积. 2、知识建构

（1）空间向量的夹角

如图：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OAa,OBb,则AOB叫做a,b的夹角，记作a,b. 注：①向量夹角的取值范围是：0a,b；

②a,bb,a；

③a,b0时，a与b同向，a,b时，a与b反向；

④a,b2时，称a与b垂直，记作ab. （2）空间向量的数量积

设a,b是空间两个非零向量，我们把数量abcosa,b叫做向量a,b的数量积，记作ab，即ab=abcosa,b. 注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量；

②规定：零向量与任意向量的数量积为0.

（3）空间两个向量数量积的性质

①cosa,b

abab；

②abab0;

③aaaa

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注：

性质①是求向量的夹角的依据．

性质②是证明两向量垂直的依据；

性质③是求向量的长度（模）的依据；

（4）空间向量数量积的运算律

①abba(交换律)；

；

abab（R）③abcabbc(分配律)．

②思考：

①由acbc，能得到ab吗？

②对于向量a,b,c，abcabc吗？

设计意图：通过思考题让学生理解向量的数量积不满足消去律与结合律. 问题1、平面向量的数量积可以用坐标表示，那么空间向量的数量积可以用坐标表示吗？怎么表示？

生：可以类比利用平面向量数量积坐标表示的方法来推导空间向量数量积的坐标表示. （5）空间向量数量积的坐标表示

设ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，则abx1x2y1y2z1z2. 问题2、令abx,y,z，可以得到什么样的结论？

设计意图：让学生自己推导出向量的模长公式. 生：ax2y2z2. 问题3、若ab，则能得到什么结论？

设计意图：突出向量垂直的充分必要条件. 生：abab0x1x2y1y2z1z20. 问题4、两空间向量夹角的余弦值可以用坐标表示吗？

设计意图：推导空间向量夹角余弦值的坐标公式. 生：cosa,b3、数学应用

例1、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12,AD4,E为侧面x1x2y1y2z1z2xyz212121xyz222222. A1B1FD1AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积. 1BCED1;

2BFAB1C1EADC

B

设计意图：利用基底法和坐标法来解决此问题，对比两种方法的优缺点.

例2、如图，在平行六面体ABCDA'B'C'D'中，AB4,AD3,AA'5,BAD90,BAA'DAA'60.

（1）求AC'的长；（2）求AC与AC'的夹角的余弦值. 设计意图：熟练应用模长公式和向量夹角的余弦值公式. 4、作业布置

本节配套练习

5、课堂小结

学生总结，教师板书

板书设计

1、空间向量的夹角

2、空间向量的数量积

3、空间向量数量积的性质

4、空间向量数量积的运算律

5、空间向量数量积的坐标表示

D'C'A'B'DCAB