3.1.2 空间向量的数乘运算名师教学实录

学案编号：sxxx1012

广州市禺山高级中学高二级数学科

课题：§3.1.2空间向量的数乘运算（一）

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【课时安排】1课时

【学习目标】

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【重点难点】空间向量的数乘运算律、共线向量定理和共面向量定理及它们的推论是重点；用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题是难点。

【课前预习】教材P86~ P87

【课前检测】

1：化简：⑴

5（3a2b）+4（2b3a）；

⑵

6a3bcabc.

2：在平面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量a,b，

若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是

。

【自主探究】

1、空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

2、空间向量的共线：

1. 如果表示空间向量的

所在的直线互相

或

，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

2. 空间向量共线：

【形成知识体系】

定理：对空间任意两个向量a,b（b0），

a//b的充要条件是存在唯一实数，使得

推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是

【重点难点突破】

试试：已知ABa5b,BC2a8b,

CD3a

，求证: A,B,C三点共线.

b

反思：充分理解两个向量a,b共线向量的充要条件中的b0，注意零向量与任何向量共线.

例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若OPxOAyOB，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？

1变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OPOAtOB，那么t＝

2'例2

已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点M是棱AA的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1,设CD=a，CBb,CC'c，试用向量a,b,c表示向量CA,CA',CM,CG.

变式1：已知长方体ABCDA'B'C'D'，M是对角线AC'中点，化简下列表达式：

111⑴

AA'CB

;

⑵

AB'B'C'C'D'

⑶

ADABA'A

222

1 

学案编号：sxxx1012

广州市禺山高级中学高二级数学科

变式2：如图，已知A,B,C不共线，从平面ABC外任一点O，作出点P,Q,R,S,使得：

⑴OPOA2AB2AC

⑵OQOA3AB2AC

⑶OROA3AB2AC

⑷OSOA2AB3AC.

小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向

【课堂练习】

1. 下列说法正确的是（

）

A. 向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c

共线；

B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；

C. 任意两个共线向量相等；

D. 若向量a与b共线，则ab.

2. 已知a3m2n,b(x1)m8n，a0，若a//b，求实数x.

【讲评小结】

1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；

2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

【拓展延伸】

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移。

【课后作业】

1. 下列说法正确的是（

）

A.a与非零向量b共线,b与c共线，则a与c共线

B. 任意两个相等向量不一定共线

C. 任意两个共线向量相等

D. 若向量a与b共线，则ab

2. 正方体ABCDA'B'C'D'中，点E是上底面A'B'C'D'的中心，若BB'xADyABzAA',则x＝

，y＝

，z＝

.

3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则OP

OA

+

OB. 14. 平行六面体ABCDA'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则(ABADAA')

AO

35. 已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，M是AC与BD交点，若ABa,ADb,AA'c，则与B'M相等的向量是（

）

1111A. abc；

B.

abc；

22221111C. abc；

D.

abc

2222

收获：

存在问题：

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