习题2.3板书设计及意图

双曲线的轨迹方程的教学设计

教学设计：

教学目标

1.进一步掌握双曲线的定义及其轨迹方程的求法，

2.了解双曲线的轨迹方程在实际中的应用. 教学重点

会求有关双曲线的轨迹

教学难点

双曲线的轨迹方程在实际中的应用

教学过程

一、复习回顾

复习：定义2-By2=1(A·一般方程：Ax或Ax22+By=1(A·B>0)B<0)不同点图形平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.yyMMF2F1OF2xOF1x标准方程焦点坐标x2y2y2x21(a0,b0)221(a0,b0)a2b2abF1-c , 0，F2c , 0F10,-c，F20,cc2a2=b2系数哪个为正，焦点就在哪个轴上.相同点

a、b、c 的关系焦点位置的判断-

2. 练习

根据下列条件，求双曲线的标准方程

（1）焦点在

y 轴上，a = 4, b = 3;

15,2（2）经过两点A(2,3)

,B3；

（3）焦点为(0,-6)，(0,6),且经过点(2 , -5).

分析：(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1

(A•B<0) 则 2A+3B=1 解得 A=1 1

为所求。

5/3A+2B=1 B=-1/3 ∴ x132y2小结：“巧设”方程为“为Ax2＋By2＝1(A•B＜0)”避免分两种情况进行讨论。

(3)∵(20)2(56)2(20)2(56)45

2∴a25 又∵c=6, ∴b2=c2-a2=36-20=16

∴

y22016x21

为所求.

设计意图：已知焦点坐标和曲线上的点的坐标，巧用定义法求双曲线的标准方程，简便求解。

二、讲授新课

1.典例分析：

例

1.圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线段

的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,AP

点Q的轨迹是什么?为什么?

分析：如图，

|QA| =|QP|=|QO|+|OP|, ∴ |QA| - |QO| = |OP| = r

由双曲线的定义可知：

点Q的轨迹是以O、A为焦点实轴长为r的双曲线.

思考：A点与圆O位置发生变化时，点Q 的轨迹又是什么？

A点在圆O上，点Q 的轨迹点Q 的轨迹与点O重合。

A点在圆O内但不与点O重合，点Q 的轨迹是椭圆。

A点与点O重合，点Q 的轨迹是圆。

几何画板演示猜想结果。

【变式练习】

1.

一动圆M与定圆A：(x+5)2+y2=64相外切，且经过B(5，0),求动圆圆心M的轨迹

分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来

内切时，定圆B在动圆M的内部，有|MA|-|MB|=8，此时点M的轨迹是双曲线x2/16－y2/9＝1的左支。

外切时，有|MA|-|MB|=8，此时点M的轨迹是双曲线x2/16－y2/9＝1的右支。

2．求与圆A：(x+5)2+y2=49,圆B：(x-5)2+y2=1都外切的圆圆心M的轨迹。

分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨

迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来

内切时，定圆B在动圆M的内部，有|MB|-|MA|=6，

外切时，有|MA|-|MB|=6，此时点M的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1的右支。

【设计意图】学会用定义法求轨迹,并用几何画板演示验证. 1上动点，求线段AQ中点例2.已知x轴上一定点A（8,0），Q是曲线x1692y2M的轨迹的方程。

分析：点M随着点Q的运动而运动，用相关点法。

解：设M(x,y),Q(x0,y0), 0∵M是AQ的中点，

∴2x=x0+8,2y=y.

∴x0=2x-8 ,

又∵Q是x2y0=2y .

162y29x1上的动点，∴016222y09221

∴(2x8)(2y)1691

即(x4)4y941为所求。

【设计意图】学会用相关点法求轨迹,并用几何画板演示验证. 例３（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s. （1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程. 解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上. （2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合. 设爆炸点P的坐标为（x,y），则

PAPB3402680,即2a=680,a=340. 又AB800,∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400. ∵PAPB6800,∴x>0.

x2y21

(x>0). 所求双曲线的方程为：11560044400说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？

如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？（AB的中垂线。）

如果例3中A,B两地相距800m改成680m,其余条件都不变，爆炸点又在什么样的曲线上。

设计意图：了解双曲线的定义及其标准方程的实际应用解释GPS原理。

3、探索研究：

设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的4斜率之积是

，求点M的轨迹方程。并由轨迹方程判断轨迹形状.与2.1例3比9较,你有什么发现?

分析：由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率分别

y为

，

y

，结合题意得到x与y的关系，进而得到答案．

x5x5

解：由题意可得：设M（x，y），

yy则直线AM与直线BM的斜率分别为

、

(x ≠±5) x5x5

4因为直线AM与直线BM的斜率之积为

，

9

22xyyy41所以

·

＝

，化简得：

25

100

x59x59

22xy1所以动点M的轨迹E的方程为



(x ≠±5) 25100

9思维拓展

变形计：设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0) 直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积是-

或m(m≠0)，则点M的轨迹是什么？

9设计意图:学会用直译法求轨迹方程,并用几何画板演示验证，发现椭圆、双曲线和圆的又一种产生方式。

三、归纳总结

1知识：1.双曲线的定义；

2.双曲线的标准方程。

2，方法

3.思想数形结合函数与方程数学思想转化与化归分类讨论

思维一题多变和一题多解培养发散思维创新思维的必备前提一种良好的学习品质

四、课后作业

1.已知动圆P与定圆C1：(x＋13)2＋y2＝196,

C2：(x－13)＋y＝81都内切，求动圆圆心P的轨迹的方程。

22

2.设点A，B的坐标分别为(-1,0),(1,0) 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-

或m(m≠0)，则点M的轨迹是什么？

3.已知在△ABC中,B(5,0),C(5,0),点A运动时满足

sinBsinC3sinA,求5点A的轨迹方程。