2.4.2 抛物线的几何性质国家获奖教案

《抛物线的简单几何性质》

江苏省江阴市成化高中 梁星亮

一、教学设计思想

：

抛物线主要解决它的方程，焦点，准线及开口方向之间的关系。同时紧密联系抛物线的定义。所以用多媒体来展示抛物线的图像，让学生从感官视觉等多个方面来熟悉和记忆抛物线的性质。

【教学目标】

知识与能力: （1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

（2）能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，

过程和方法:

（1）掌握抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用；

（2）训练自己用坐标法解题的能力；一定学会用定义解决问题。 情感态度与价值观:

（1）通过本节学习训练自己分析问题，解决问题和归纳总结能力，并认识到事物之间是相互联系的。

（2）

培养学生数形结合及方程的思想，了解抛物线在实际问题中的初步应用 【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用 【教学难点】：抛物线几何性质的运用

【教学方法】：充份利用计算机网络教室、多媒体课件等解决重难点问题

（二）设计教学过程 1、复习引入： 抛物线定义：平面内与一个定

点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线

2创设情境，导入新课.前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么? 3.学生探究活动： 回顾:探究椭圆、双曲线的几何性质时用的 何种方法?有哪些性质? 抛物线呢? 简单几何性质：（1）范围， （2）对称轴， （3）顶点， （

4）离心率

4.建构数学 归纳：抛物线的几何性质

一、抛物线的几何性质

1、范围

由抛物线y2 =2px（p>0），

所以抛物线的范围为

x0

抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，

︱y︱也增大，这说明抛物线

向右上方和右下方无限延伸。

2对称性

由于点（x,-y)也满足y22px，故抛物线y22px(p>0)关于x轴对称. 同理可以得到另外三种抛物线的对称性（由学生回答）

3顶点

定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。

oF(p,0)2y

P(x,y)

x

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。

4离心率

抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离

之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知e=1。

5 开口方向

抛物线y2 =2px（p>0）的开口方向向右。

抛物线y2 =-2px（p>0）的开口方向向左。

抛物线x2 =-2py（p>0）的开口方向向上。

抛物线x2 =-2py（p>0）的开口方向向下。

6通径

过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线与抛物线交与两点A,B则线段AB叫抛物线的通径. 思考1:抛物线的通径的长是多少? 思考2:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. （三）、例题讲解：

y

P(x,y)

opF(,0)2x

例1 抛物线y22x上一点P到焦点的距离为3，求点P到准线的距离和点P的坐标。

变1：改为点P到准线的距离为3？

变2：改为点P到y 轴的距离为3？

例2

已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标. 变式

若例题中A点坐标变为（2，3），求PA+PF的最小值. 例3

斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。

探究：

直线l 经过抛物线y2=2px的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2) 两点，则线段AB的长|AB|=x1+x2+P. 变1：若直线l 经过抛物线y2=4x的焦点, 与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长. 变2 若直线l 经过抛物线x2=-4y的焦点, 与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的纵坐标为-2,求线段AB的长. 例4：求抛物线y2=8x上的点到直线x+y+5=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标. 课堂练习：

1．设抛物线y2=4x的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为A(x1,y1),B(X2,Y2),若X1+X2=6，那么AB=

．

2.经过抛物线y2=8x的焦点且和抛物线的对称轴成60°的直线交于

A,B两点，求

AB的值

3、点M(5,3)到抛物线

yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是

4.已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线L：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程

小结: 1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;