6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教学设计第二课时

§6.1(1) 正弦函数和余弦函数的图像与性质

徐荣改

【教材分析】

《正弦函数和余弦函数的图象与性质》是上海教育出版社高中一年级第二学期中第六章《三角函数》第一节的内容。作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图像与性质的，它是学习三角函数图像与性质的入门课，是今后研究正切函数的图象与性质、正弦型函数yAsin(t)的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。

本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出正弦函数ysinx,x[0,2的图像，观察图像的特点，用“五点作图法”画出大致图像。再利用简单的图象平移变换研究余弦函数图像的画法。

【教学目标】

1.学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数在[0,2]上的图像，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。

2.掌握正余弦函数图像的“五点作图法”；并能归纳正余弦函数图像的特征。

3.通过函数图像的变换，能作出余弦函数图像；

4.在渗透数形结合的数学思想过程中，锻炼类比和转化的思维能力。

【教学重点难点】

教学重点：“五点法”画[0,2]区间上的正弦函数图像。

教学难点：利用正弦线画出正弦函数ysinx,x[0,2]的图像。

【学情分析】

高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角比这一章节知识，要求学生有较高的融会贯通和综合能力。在图像做法方面，学生已经学习过画函数图像的描点法以及简单的图像平移翻折等技巧。

【教学方法】

1．“生疑-质疑-释疑”的问题教学法为主，讨论教学法为辅。

2．新授课教学基本环节：课前发预习学案、布置预习→预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、解决疑问→反思总结、当堂检测→小结作业

【课前准备】

1．学生的学习准备：课前完成“正弦函数和余弦函数的图像与性质”的预习学案。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

3.

教学手段：利用计算机多媒体、几何画板辅助教学. 【课时安排】1课时

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标

1

1.融入音乐，创设情境：

通过学生演唱《送别》并做出旋律音高线，分析这种曲线高低起伏、周而复始的特点，抛出问题，数学中有没有一类函数可以描述这种现象？

2.复习正弦线以及函数定义，引出正弦函数和余弦函数的概念。

3.师: 研究函数的性质先作出它的图象，通过图象可以更好的研究函数的性质。这节课我们重点研究正弦函数和余弦函数的图象. （教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）

三、问题引领、合作探究、解决疑问

1师:根据我们以往学习的知识，怎么作正弦函数和余弦函数图象呢？

生：描点法

师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？

生：列表、描点、连线．

（，sin）的怎么描？为什么这样描？

师:在平面直角坐标系中，点生：利用单位圆中的正弦线作函数的图象

师:下面研究制作正弦函数ysinx,x[0,2]的图象。

2教师引导学生列表，描点，连线

师：描点法的弊端, 生：当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.，选点的数量不多，多选点制作图像会更好些。

师：总结：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是

其一：要把“列表”中的点的纵坐标精确的标出来；

其二：选点要尽可能的多。

师:（进一步提出问题）如何作出比较精确的正弦函数的图象？

3 师:几何画板动态演示利用正弦线作正弦函数ysinx,x[0,2]的图象，边演示，边讲解，并不时的提问学生，与学生交流．

……

师:在刚才的作图过程中，我们同样是利用了描点法，与先前的描点法有什么不同呢？

生：在描点的时候，我们利用了三角函数线，使得描出来的点比较精确，得到的正弦图像也比较精确

（对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性）

4师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0, 2π]上的图象．

4]的图象．

提出问题：如何由ysinx,x[0,2]的图象得到ysinx,x[2，学生探讨……….. 生：根据诱导公式一——终边相同的角同名三角函数值相等，x∈[0，2π]的正弦图像和[2π,4π]-的图象相同，只需把函数y=sinx，x∈[0，2π]的平行移动得到函数y=sinx，在[2π,4π]的图象

教师结合图形，引导学生继续研究[2π,4π]上的图象，让学生观察，发现：[2π,4π]上的图象和[0, 2π]上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，[2π,4π]上的图象和[0, 2π]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同，即要得到[2π,4π]上的图象只需把[0, 2π]上的图象像右平移2π个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到．

师生形成共识:把函数y=sinx, x∈[0, 2π]的图象沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象. 师：多媒体演示由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程．

2

师:（小结）由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程中，我们实际上根据的哪个诱导公式？

（2kx)sinx,kZ

生：sin（先让学生从直观上感受[2π,4π]上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上解释、认识，学生较容易接受，如果一下就利用诱导公式一来解释由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）

师:以后要作正弦函数的图象，关键先作出哪个区间上的图象？

生:先作[0, 2π]的图象，然后沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象．

5.由正弦函数的图象得到余弦函数的图象

师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题——正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？

生:可以，但比较麻烦．

师:要求学生课后用余弦线作余弦函数的图象，并提出问题：以正弦函数的图象为基础，你能不能很快作出余弦函数的图象？

探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？

（教师组织学生讨论、交流引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程．）

师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是需要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？

生：第六组诱导公式cosxsin(x)

；

2师：（对学生的回答表示肯定与赞赏）非常好！

师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象．

（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）．

6、学生练习画图，再演示正，余弦图像

7．用“五点法”作正弦函数的大致图像

师:在以后的学习中，我们将不断作出正弦函数的图象，同学们想一想，如果每次作正弦函数的图象都用这种方法的话，麻烦不麻烦？

生:虽然精确，但很麻烦．

师:（进一步提出问题：）在精确度要求不太高时，如何作正弦函数的图象呢？

师:引导学生观察与思考：观察我们用单位圆中的正弦线作出的函数ysinx,x[0,2]的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？

生:观察、思考、发现：在确定图象的形状起着关键作用五个点：(0,0)、((

,1)、(π,0)、

23,-1)、(2π,0). 2生:（小结：）讲解“五点法”，在精确度要求不太高时，要作ysinx,x[0,2]的图象，只需先描出五个关键的点，再用光滑的曲线把它们连接起来。这种作图的方法称为“五点法”

这五个关键的点分别是：最高点，最低点以及与x轴的交点，每个点的横坐标的取值是有规律的——每隔

取一个值．

3

8 、用“五点法”作余弦函数的大致图像

师：同样，以后我们要作余弦函数的图象，关键也是先作出[0,2]上的图象．

师：（探究：）类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？

生：通过观察类比，确定余弦函数图象的五个关键点(0,1)、(3,0)、( π,-1)、(,0)、(2π,1). 22师：（总结方法）

在精确度要求不太高时，先作出函数y＝sinx和y=cosx的五个关键点，再用光滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的大致图像。这种作图法叫做“五点（画图）法”．

师：（小结）到这里，我们这节课主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用描点法，利用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图像。谁能比较一下这两种方法呢？

生：描点法由于选点的多少，点的位置是否准确，影响图像的精确。

五点法精确度要求不太高时使用

师：由于描点法制作起来都比较麻烦，所以我们在做题时经常采用“五点法”

三、反思总结、当堂检测

下面我们就一起用“五点法”来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象。

1．【典例讲解】

示例1:（1）用“五点法”作函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]上的大致图像；

（2）用“五点法”作函数y=-cosx, x∈[0, 2π]上的大致图像. （对于（1），教师重点、详细讲解，并多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成。）

教师个别指导，学生列表,描点,师点评，并及时纠正学生作图过程中存在的问题. 师：（进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度出发，利用ysinx,x[0,2]的图象，得到y1sinx,x[0,2]的图象？同样的，如何利用ycosx,x[0,2]的图象，得到ycosx,x[0,2]的图象？

（教师多媒体演示，学生观察图象间的关系.在课堂教学中，教师在教学中的主导作用必须以确定学生主体地位为前提，注重学生与教师相互交流、共同参与，鼓励学生质疑、探究，让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程.）

2.【巩固练习】

书本课后练习

四、小结作业

【总结提升，解释疑问】

（，sin）的怎么描？为什么这样描？ 1.

在平面直角坐标系中，点2.正弦函数图像的5个关键点是怎么想到的？为什么要选（0，0），(2,0)，(,0)，(2,1)，(3,1)呢？

2333.正弦函数图像在[0,],[,],[,],[,2]这些区间上的具体特点是什么？

22224.ysinx,xR图像做法

5.ycosx,xR上图像的做法？为什么不采用正弦函数图像的做法，而是用平移变换来画出余弦函数的图像？）

6.为什么正弦函数【0，2π】的图像从原点开始画？而余弦函数【0，2π】的图像从点（0，1）开始画？

布置作业

：先锋6.1（1）

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