6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质优秀教学设计

§三角函数的基本性质和图像的应用

上海市向东中学数学组

俞传科

【教学目标】

1．掌握三角函数的基本性质和图像；

2．参与利用正、余弦函数推导正切函数基本性质的理性过程，熟练运用同角三角比的转换关系，并运用相关知识和方法，自主推导正割函数基本性质；

3．在三角函数基本性质和图像的复习过程中，感受理性推理的数学观和建立意义连接的意识。

【教学重点】

理解并掌握利用正、余弦函数推导正切函数基本性质的过程。

【教学难点】

运用相关知识和方法，自主推导正割函数基本性质。

【教学方法】

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，在教师的带领下通过给出起点知识，学生充分认识知识点间的关系，进而探索利用已有知识理性推导新知识的方法，充分理解理性推理和建立意义连接的重要性，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课. 【教学过程】

一、复习引入：

复习正、余弦函数的基本性质和图像

二、师生互动：

研究正切函数的基本性质和图像

运用公式“tanxsinx”可将与“正切”和“余切”有关的问题转化为“正弦”和cosx“余弦”有关的问题进行研究，我们称这种解决问题的方法为“切化弦”．

假设你刚刚学过正弦函数和余弦函数的性质，请用“切化弦”的方法研究正切函数ytanx(xk解：周期性

2,kZ)周期性、奇偶性和单调性.

sin(x)sinxtanx，

cos(x)cosx正切函数的周期为.

tan(x)奇偶性

对于任意的xk2,kZ，

tan(x)单调性

对于区间0,sin(x)sinxtanx，

cos(x)cosx正切函数是奇函数．

的任意x1、x2，其中x2x1，有

2sinx2sinx1

tanx2tanx1cosx2cosx1cosx1sinx2sinx1cosx2

cosx1cosx2

sin(x2x1)．

cosx1cosx2因为0x1x2，所以0x2x1．

22于是cosx10,cosx20,sin(x2x1)0，

从而tanx2tanx10，即tanx2tanx1．

因此，正切函数ytanx在区间0,内是增函数．

2由ytanx是奇函数，可得它在区间,0内是增函数，

2所以ytanx在,内是增函数．

22又因为正切函数是以为周期的函数，

所以ytanx在k2,k(kZ)内都是增函数．

2三、学生自主活动：

自主研究正割函数的基本性质和图像

已知正割函数ysecx在区间(0,2)上的图像如图（请看答题卡）所示，请在所示范围内画出正割函数的大致图像，指出它的定义域、值域和基本性质，并任选其基本性质之一给予证明．

解：

定义域：xk2(kZ)，值域：(,1][1,)

正割函数的基本性质：



奇偶性：偶函数；

证明：任取xk11secxf(x)

，有f(x)sec(x)2cos(x)cosx所以，正割函数ysecx是偶函数．



单调区间：单调递减区间(单调递增区间(2k,证明正割函数在区间(2k,22k,2k)和(2k,32k)，kZ；

222k)和(22k,2k)，kZ. 22k)（kZ）上为增函数：

任取x1,x2(2k,22k),x1x2，则cosx10,cosx20，且cosx1cosx2，

secx1secx2cosx2cosx1110，

cosx1cosx2cosx1cosx2所以，正割函数在在区间(2k,

最大值和最小值：无.

22k)（kZ）上为增函数.

证明：反证法：假设有最大值M0，显然M01，

k，有f(x)M0.

21令secxM011，得cosx(0,1)，

M01则对于所有x所以，存在x0，使得secx0M01，与M0为正割函数的最大值矛盾.

所以正割函数无最大值，同理可证正割函数无最小值.



零点：无.

证明：因为cosx[1,1]，所以|secx|1，故方程secx0无解，

所以，正割函数无零点.



周期：2.

证明：设xk11，有f(2x)sec(2x)secxf(x)，

2cos(2x)cosx所以，2是正割函数的周期.

四、课堂小结

教师带领学生回顾，简单绘制本节课的知识脉络图：

正余弦函数基本性质和图像正切函数基本性质正割函数基本性质

五、作业

自主研究余切函数、余割函数的基本性质和图像。