2.2.2 椭圆的几何性质教学设计与反思

椭圆的几何性质设计

一．教学目标设置：

(一) 知识与技能：

1.能运用方程来研究椭圆的简单几何性质；

2.掌握椭圆的简单几何性质；

3.了解离心率对椭圆扁平程度的影响，以及基本量a,b,c,e的相互关系；

(二) 过程与方法：

感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；

(三) 情感态度与价值观：

在运用方程探究椭圆的几何性质过程中，让学生知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

二．学生学情分析：

学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比较抽象，直接引入比较突兀，给学生明确的问题，结合适当的点拨与演示，是非常必要的。

三．重难点：

重点：1.用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；

2.椭圆的简单几何性质。

难点：1.用方程研究椭圆的范围和对称性；

2.离心率的引入

四．教学策略分析：

1.问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；

2.在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；

3.几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。

五．教学过程：

(一)课前准备

x2y21所对应的活动创设：运用所学的知识，在平面直角坐标系中画出方程259曲线C1？

（方案一：利用椭圆的定义画图；

方案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x轴y轴的交点再连结；

方案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；

方案四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解要求较高））

【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范

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围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。

(二)探究新知：

师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。

探究一：

问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？

（预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观）

（师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的

话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质则是解析几何的目的。）

问题2：

你能否用方程说明该范围？

x2y2（预案一：利用20和20的特点；

abx2y2（）（）1联系cos2sin21；

预案二：观察方程形式，abx2x2预案三：与函数定义域和值域联系，yb12和yb12）

aa师：研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图。

【设计意图】指明用方程研究曲线性质是解析几何的目的。学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围，能体会到方程研究性质的应用。联系之前所学三角函数和函数定义域值域知识，更能加强学生对知识综合运用加深理解。

探究二：

问题1：该椭圆具有什么对称性？

问题2：能否用代数法说明该对称性？

（问题2对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生

回答过程中，强调“任意取一点”，并引导学生用曲线方程的定义回答问题。）

师：该椭圆关于x轴和y轴轴对称，是不是所有椭圆都关于x轴和y轴轴对称？

（学生回答）

师：所有椭圆是不是都有两条对称轴？（学生回答）

师：同样的，是不是所有的椭圆都像该椭圆一样都关于原点中心对称呢？

(学生回答) 师：是不是所有的椭圆都有一个对称中心呢？（学生回答）

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取

一点”。学以致用能让学生体会到方程判断曲线对称性的好处。

研究该椭圆对

称性时，指出一般椭圆的对称性，体现出特殊与一般的区别。

探究三：

师：研究曲线上某些特殊点，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的

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位置，常常需要求出它与x轴和y轴的交点坐标。

问题1：该椭圆与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？

（指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x轴和y轴为该椭圆的对称轴，

这四个交点为椭圆的顶点。）

问题2：椭圆的顶点如何定义？

（预案：学生可能会回答“椭圆与x轴和y轴的交点称为椭圆的顶点”）

【设计意图】让学生明确特殊与一般的区别。

问题3：完成下面的表格：

标准方程

x2y22（1ab0）a2by2x21(ab0)

a2b2图形

范围

顶点

长轴长

短轴长

对称性

a,b,c关系

离心率

x2y2【设计意图】: 通过填表，一方面让学生巩固刚学椭圆221的性质；aby2x2另一方面让学生类比已有的知识，得出椭圆221的知识。

ab探究四：

问题1：用a,b,c中的哪两个量的比值可以刻画椭圆的扁平程度？

（先思考，小组合作讨论，互相交流看法;小组展示成果）

bacc（方案一：a；方案二：b；方案三：a；方案四：b…）

师：其实，用a,b,c中任意两个量的比值都可以刻画椭圆的扁平程度。

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cc来刻画椭圆的扁平程度？a和c是原始量，另外采用也是为了aa后边研究圆锥的统一性等性质的方便。

为什么采用问题2：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度？

（预案：学生可能假设a不变，长轴长不变，改变c，短轴长改变去说明离心率对椭圆的扁平程度的影响。老师肯定他们做法的同时，也要指出“长轴长可cb能改变”，引导学生用与的关系去刻画。）

aa（让学生用逼近的思想想象当e

0时，椭圆接近于圆；当e

1时，椭圆接近于一条线段。其中0看成圆，1看成线段，方便学生的记忆。）

(三)知识应用：

例1．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标；

（1)x4y16

（2）对称轴都在坐标轴上，一焦点到长轴两端点距离分别为1,3；

22设F是椭圆的一个焦点，B1B2是短轴，B1FB260，例2.

求椭圆的离心率.【设计意图】：例1由方程得性质，例2由性质得方程及离心率，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系。

(四)课堂小结：

本节课你有什么收获？结合所学知识和知识探究过程。

1.

知识上（通过表格呈现）

2.方法:

(五)作业：

课后练习。

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