2.1.4 平面与平面之间的位置关系课时教案

2.1.4 平面与平面之间的位置关系

1.

会判断空间中直线与平面的位置关系.

2.

会判断空间中平面与平面的位置关系.

3.

会用图形语言和符号语言表示直线与平面、平面与平面的位置关系.

1.

直线与平面的位置关系

位置直线a在平面直线a与平面直线a与平面关系

α内

α相交

α平行

公共点个数

_无__数__个__ _1_个__ _0_个__ 符号表示

_a_⊂__α_

_a_∩__α__=_A_

_a_∥__α__

图形表示

2.

平面与平面的位置关系

位置关系

图形表示

符号表示

公共直线

两平面

平行

_α__∥__β__

无

两斜_α__∩__β__=_a_

_有__一__条__公__共__直__线__ 平交

面

相

垂α⊥β, 交

直

α∩β=a

_有__一__条__公__共__直__线__

1.

长方体的六个表面中互相平行的平面有

( ) A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

【解析】选B.长方体中相对的两个表面都互相平行,长方体中共有3对对面,所以共有3对.

2.

直线a在平面α外,则

( ) A.a∥α

B.a与α至少有一个公共点C.a∩α=A D.a与α至多有一个公共点

【解析】选D.根据直线与平面的位置关系知,直线a在平面α外包括a∥α或a∩α=A,所以a与α至多有一个公共点.

3.

过直线l外一点P,有_______ 个平面与l平行. 【解析】如图,想一想打开的书页,一支笔与书脊平行.

答案:无数

4.

已知点A∉

α,则过点A与平面α有公共点的直线与平面α一

定

______ _. 【解析】因为直线与平面有公共点,所以直线在平面内或与平面相交,又直线上的点A不在平面α内,所以直线与平面α相交. 答案:相交

5.

过平面α外一点P,有

_______ 个平面与α平行. 【解析】如图,过P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都

在平面β内,有且只有一个β∥α.

答案:一

一、直线与平面的位置关系探究: 根据如图所示的长方体,思考下面的问题: (1)

长方体中,线段D′C所在直线与平面A′B′BA有何关系? 提示:因为直线D′C与平面A′B′BA没有公共点,所以直线D′C 与平面A′B′BA平行.

(2)

长方体中,线段D′C所在直线与平面ABCD有何关系? 提示:因为直线D′C与平面ABCD有一个公共点C,所以直线D′C 与平面ABCD相交. (3)

长方体中,线段D′C所在直线与平面CDD′C′有何关系? 提示:因为直线D′C与平面CDD′C′有无数个公共点,所以直线D′C在平面CDD′C′内.

【探究总结】直线与平面的位置关系的三种分类方法(1)按公共点的个数分类

直线与平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点

直线与平面平行——没有公共点(2)按是否平行分类

(3)按是否在平面内分类

二、平面与平面的位置关系

探究1:若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,那

么这两个平面之间有什么位置关系? 提示:因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行,所以该平面与另一平面没有公共点,根据两平面平行的定义知,这两个平面平行.

探究2:平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否

正确? 提示:不正确,如图,设α∩β=l,则在平面α内与l平行的直线可

以有无数条a1,a2,…,an,它们是一组平行线,这时a1,a2,…,an, 与平面β都平行,但此时α不平行于β,而α∩β=l.

【探究总结】对平面与平面位置关系的两点说明

(1)

两平面的位置关系包括相交和平行,其中相交包括垂直相交和斜交. (2)

判断两平面位置关系可紧扣定义,只需判断两平面是否有公共点,也可采用排除法.

类型一

直线与平面位置关系的判定

1.

若a∥α,则直线a与平面α内的

( ) A.一条直线不相交

B.两条直线不相交

C.无数直线不相交

D.任意一条直线不相交

2.

若a,b是异面直线,a∥α,则b与α的关系

( )

A.b∥α或b⊂α

B.b与α相交或b⊂α或b∥α

C.b与α相交或b∥α

D.b与α相交或b⊂α

【解题指南】1.根据直线与平面的位置关系逐一判断. 2.可借助于长方体模型,对直线与平面的三种位置关系逐一判定,找出符合题意的情况.

【自主解答】1.选D.若a与平面α内某一条直线相交,则a与

α相交,与a∥α矛盾. 2.选B.利用长方体模型,可知三种位置关系都有可能. 如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, ①A′D′与AB异面,A′D′∥平面BC′,而AB 与平面BC′相交; ②A′D′与BB′异面,A′D′∥平面BC′,而BB′在平面BC′内;

③分别取AB,A′B′中点E,F,EF与A′D′异面,A′D′∥平面BC′,而EF与平面BC′平行.

【规律总结】直线与平面平行的两种判定方法

(1)

排除法:直线与平面的位置关系有:在平面内,与平面相交, 与平面平行.若能排除直线在平面内和直线与平面相交,则直线

与平面平行. (2)

定义法:判定直线与平面没有公共点即可说明直线与平面平

行.

【变式训练】

下列说法中正确的个数是

( ) ①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平

面; ②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行; ③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b; ④若a在平面α外,则a∥α. A.0 B.2 C.1 D.3

【解题指南】利用长方体模型,借助于位置关系的定义判断. 【解析】选A.如图,长方体ABCD -A′B′C′D′,

①AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′ 内,故①不正确. ②AA′∥平面B′C,BC⊂平面B′C,但AA′不平行于BC,故②不正确. ③AA′∥平面BC′,A′D′∥平面BC′,AA′与A′D′相交,故

③不正确. ④AA′在平面ABCD外,但AA′与平面ABCD相交,故④不正确.

类型二

平面与平面位置关系的判定

1.(2014·威海高一检测)平面α与平面β,γ都相交,则这三个

平面可能有

( ) A.1条或2条交线

B.2条或3条交线

C.仅2条交线

D.1条或2条或3条交线

2.若直线a⊂α,直线b⊂β,a,b是异面直线,则α,β的位置关

系是

______ _.

【解题指南】1.从β与γ相交、平行时两种情况考虑交线的条

数. 2.可借助于长方体中线面、面面位置关系进行判断.

【自主解答】1.选D.当β与γ相交,α经过β与γ的交线时,有 1条交线;当β与γ平行,α与β和γ都相交时,有两条交线;当β与γ相交且α不经过β与γ的交线时,有3条交线. 2.借助于长方体模型,根据线面、面面位置关系判断可知α,β 的位置关系是平行或相交. 答案:平行或相交

【延伸探究】题2中,若将“a,b是异面直线”改为“a,b是平行

直线”,则α,β的位置关系是

______ _. 【解析】可利用长方体模型,根据线面、面面位置关系判断可

知,α与β的位置关系是平行或相交. 答案:平行或相交

【规律总结】面面位置关系的两种判定方法

(1)

定义法:抓住定义,仔细分析题目条件,将自然语言转化为图

形语言,通过图形借助定义确定两平面的位置关系. (2)

借助几何模型判断:线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现,所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟

悉的图形找到反例或对应的关系.