小结板书设计及意图

人教A版数学必修2第二章《圆与圆的方程》小结

《直线系与圆系方程的应用》教学设计

福建省漳浦第一中学 张丽萍

教学目标：

【知识与技能】了解直线系与圆系方程的定义及种类；能够利用直线系与圆系方程求解有关问题；

【过程与方法】通过

课堂学习，学生可以用直线系与圆系方求圆的方程，求直线过定点问题，求面积最小的圆，求参数问题等.通过直线系与圆系方程，解决相关问题，利用数形结合，通过一题多解，让学生比较不同解法的区别与优缺点，从而激发学生的学习热情兴趣，提高解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】进一步培养学生用代数法解决平面几何的能力，渗透数形结合，注重培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力. 本节课教学重难点：直线系与圆系方程的应用．

三、教学设计

引入复习知识

1.直线方程的一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为零)，

2.圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2

圆的一般方程：x2y2DxEyF0 (其中D2E24F0) 设计意图：这些知识为本节课所用知识，为这节课做好准备. 新课知识：

一、直线系方程

定义：具有某种共同性质的所有直线的集合叫做直线系.它的方程叫直线系方程.

常见的直线系方程有如下几种：

1、与直线l：AxByC0平行的直线系方程为AxByC10C1C

1、与直线l：AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10C1C

3、过定点（x0，y0）的直线系方程：yy0k(xx0)（A,B不同时为0）.

4、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

过直线l1：（A1,B1不同时为0）与l2：（A2,B2A1xB1yC10A2xB2yC20不同时为0）交点的直线系方程为：

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0（R，为参数）.不包含直线l2

（包含过直线l1与l2交点的所有直线方m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0程）

直线系方程在解题中的应用：

例

1

：求过两直线x2y40，xy20的交点，且过点P(2,1)的直线l方程．

解法一：本题是过定点直线方程问题，可先求两条直线交点坐标，利用两点式得到直线的方程；. 解法二：可过两直线x2y40，xy20的交点的直线系方程为x2y4+(xy2)0，把点P(2,1)代入解得=4.

例2 .已知直线l:(1m)x(2m)y(1m)0(m是参数且m∈R). （1）求证：无论m取何实数，直线l恒过定点，并求出定点的坐标；

（2）求当m在实数范围内变化时，原点到直线l的距离的最大值；

（3）求证直线l与圆:(x2)2(y3)225总有两个公共点. 分析：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于x,y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点. 二、圆系方程

定义：

具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系。它的方程称为圆系方程.

常见的圆系方程有如下几种：

1、以(a,b)为圆心的同心圆系方程：(xa)2(yb)22(0)

2、过直线l：AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为：

x2y2DxEyFAxByC0（Ｒ）

3、过两圆C1:x2y2＋D1xE1yF1＝0，C2:x2y2＋D2xE2yF2=0交点的

圆系方程为：x2y2＋D1xE1yF1＋（x2y2＋D2xE2yF2）＝0

（1，此圆系不含C2:x2y2＋D2xE2yF2=0）

特别地，当1时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．

注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程: mx2y2D1xE1yF1nx2y2D2xE2yF20

圆系方程在解题中的应用：

例3：求经过两圆C1:x2y22x30和C2:x2y24x2y300的交点，并且过原点的圆的方程。

解一：求出两交点1,2，3,0，且圆过原点0,0，再用待定系数法：用一般式或用标准式可求出圆的方程为x2y23xy0。

（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）

解二：用圆系方程，设经过两圆C1:x2y22x30和C2:x2y24x2y300的交点的圆系方程为x2y22x3x2y24x2y30，代入原点0,0可求得=1，则圆方程为x2y23xy0

变式：求经过两圆C1:x2y22x30和C2:x2y24x2y300的交点，且圆心在直线2xy0上的圆的方程．

解一：求出两交点1,2，3,0，再用待定系数法：用一般式或用标准式可求出圆的方程；

解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心，再求半径可得圆的方程；

解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。

设经过两圆C1:x2y22x30和C2:x2y24x2y300的交点的圆系方程为x2y22x3x2y24x2y30，

x2y224233xy0

1+1+1+212把圆心代入直线方程，可求得，则圆方程为2xy0,511+x2y224xy70

33 例4：求过直线2xy40和圆x2+y22x4y10的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过直线与圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

（利用希沃白板5探索圆满足什么条件面积取到最小值，利用数形结合.）

解：

过直线2xy40与圆x2+y22x4y10的交点的圆系方程为

x2+y22x4y1(2xy4)0，即x2y2(22)x(4)y(41)0

解一：数形结合，依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，

48)必在直线2xy40上。解得则

25261237xy0

代回圆系方程得所求圆方程x2y2555圆心(1,224 解二：设圆的半径为r，r2422441521616

48当时，r2取到最小值，即r渠道最小值。

5261237xy0。

代回圆系方程得所求圆方程x2y2555

习题演练：已知直线x2y30与圆x2y2x6ym0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。

分析：此题最易想到设出P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OPOQ得到x1x2y1y20，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线x2y30与圆x2y2x6ym0的交点的圆系方程为：

x2y2x6ym(x2y3)0，即

x2y2(1)x2(3)ym30………………….①

依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心(上，则1,3)显然在直线x2y30212(3)30，解之可得1又O(0,0)满足方程①，则m30，2故m3。

总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。