3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计及教案分析

3.3.3

点到直线的距离

3.3.4

两条平行直线间的距离

学习目标：

1.掌握点到直线的距离公式．(重点) 2.能用公式求点到直线的距离．(难点) 3.会求两条平行直线间的距离．(重点、易错点)

[自

主

预

习·探

新

知] 点到直线的距离与两条平行线间的距离

点到直线的距离

两条平行直线间的距离

夹在两条平行直线间公垂线段的长度

两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝|C1－C2|22

A＋B定义

点到直线的垂线段的长度

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C公式

|Ax0＋By0＋C|＝0的距离d＝

A2＋B2思考1：在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？

[提示]

直线方程应化为一般式．

|C1－C2|思考2：两条平行直线间的距离公式写成d＝2时对两条直线应有什A＋B2么要求？

[提示]

两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b(

) (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|(

) |m－2n|(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为(

) 2[提示]

(1)×

点P(x0，y0)到直线y＝b(b≠0)的距离为d＝|y0－b|. (2)√

(3)√

1/9

2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(

) A．2

B．3

C．2

D

[d＝|－5|22＝5.选D.] 1＋2D．5 3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(

) A．1

B．2

C．3 D．2 |1－－1|2B

[依题意d＝＝＝2.选B.] 212＋12[合

作

探

究·攻

重

难]

点到直线的距离

求点P(3，－2)到下列直线的距离：

31(1)y＝4x＋4；(2)y＝6；(3)x＝4.

31[解]

(1)直线y＝4x＋4化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得

d＝|3×3－4×－2＋1|18＝5. 223＋－4(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. [规律方法]

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

[跟踪训练] 1．(1)点P0(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为(

) A．5

B．25

C．3

D．23 (2)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于(

) 334A．4

B．－4

C．－3

2/9 4

D．3

(1)B

(2)C

[(1)依题意，d＝(2)依题意，d＝|2×－1＋2－10|10＝＝25.选B. 2252＋1|m＋4－1||m＋3|＝＝1，

m2＋1m2＋14解得m＝－3，选C.]

两条平行直线间的距离

已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.

思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程．

[解]

由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．

设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，|m＋1||m＋13|得d1＝，d2＝，

1313又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，

解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. [规律方法]

求两平行直线间距离的两种思路

1利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，|b1－b2|且b1≠b2时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2k＋1|C1－C2|时，d＝2，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. A＋B2[跟踪训练] 2．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．

3/9

[解]

若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，

由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0,1)，

则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|2＝5，

1＋k12∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝5. ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，

l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，

它们之间的距离为5，满足条件．

则满足条件的直线方程有以下两组：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；

l1：x＝0，l2：x＝5.

距离公式的综合应用

[探究问题] 1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？

[提示]

如图，

显然有0

6＋32＋2＋12

＝310. 故所求的d的变化范围为(0,310]．

2．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．

[提示]

由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．

而kAB＝2－－11＝，

6－－33∴所求直线的斜率为－3. 4/9

故所求的直线方程分别为

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．

[解]

设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．

2x－y＋2＝0，由得正方形的中心坐标为P(－1,0)，

x＋y＋1＝0

由点P到两直线l，l1的距离相等，得c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直，

|－1－5||－1＋c|22＝22，得c＝7或1＋31＋3∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等，

∴|－3＋a||－1－5|＝2222，得a＝9或a＝－3，

3＋－11＋3∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．

[解]

由例题知，正方形中心坐标为P(－1,0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1. 2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？

x＋3y＋7＝0，112[解]

由可得交点坐标为5，－5，又正方形中心为P(－1,0)．

3x－y－3＝0∴由两点式方程得对角线方程为：y－0x＋1＝，即2x＋y＋2＝0. 121－5－05＋1

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3x－y－3＝0，76由可得正方形另一顶点坐标为5，5，又正方形中心为x＋3y－5＝0P(－1,0)，

y－0x＋1∴由两点式得另一对角线方程为：6＝7，即x－2y＋1＝0. 5－05＋1综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0. [规律方法]

距离公式综合应用的三种常用类型

1最值问题. ①

利用对称转化为两点之间的距离问题. ②

利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③

利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. 2求参数问题. 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. 3求方程的问题. 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)

对称问题

一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．

思路探究：先求出点O关于直线l的对称点坐标A，则由反射原理知PA即为反射光线所在直线．

[解]

设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，

由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得

b4－3＝－1，a·ab8×＋6×22＝25，

6/9

a＝4，解得∴A的坐标为(4,3)．

b＝3，∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，

又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，

故反射光线所在直线方程为y＝3. 7x＝，y＝3，由方程组解得88x＋6y＝25，y＝3，

由于反射光线为射线，

7故反射光线的方程为y＝3x≤8. [规律方法]

1点关于直线对称的点的求法

点Nx0，y0关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点Mx，y

2直线关于直线的对称的求法

求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程. [跟踪训练] 3．求点P(－5,13)关于直线l：2x－3y－3＝0的对称点P′的坐标．

[解]

设P′的坐标为(x0，y0)，

x0－5y0＋13则线段PP′中点Q的坐标为，2. 2∵Q在直线l上，

x0－5y0＋13∴2·2－3·2－3＝0，

即2x0－3y0－55＝0.①

又∵PP′⊥l，∴kl·kPP′＝－1，

7/9

2y0－13即3·＝－1，即3x0＋2y0－11＝0.②

x0＋5x0＝11，联立①②解得

y0＝－11，∴P′的坐标为(11，－11)．

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(

) A．3223

B．

C．

2221D．

2

|1＋1＋1|332A

[依题意，d＝＝＝2，选A.] 212＋122．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋10＝0的距离等于(

) A．1

B．0

C．10

D．3 |10－0|A

[l1、l2的距离为d＝22＝1.选A.] 3＋13．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________. 【导学号：07742256】

|3m＋2＋3||－m＋4＋3|1或－6

[由22＝22，

2m＋1m＋11解得m＝2或m＝－6.] 4．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后过点B(2,10)，则光线从A到B经过的距离为(

) A．52

B．25

C．510

D．105 C

[依题意得A(－3,5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，

由对称性知，光线从A到B经过的距离即为A′到B的距离，

|A′B|＝－3－22＋－5－102＝510. 故选C.] 5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程.

[解]

∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，

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根据两平行直线间的距离公式得解得b＝45或b＝－33. |b－6|22＝3，

5＋－12∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.

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