4.3.2 空间两点间的距离公式教学目标

4.3.2空间两点间的距离公式

一、教学目标

(一)核心素养

通过这节课学习,理解空间两点间距离的概念、体会平面点的距离与空间点的距离之间的关系,会用距离公式表示空间中两点间的距离,在直观想象、数学抽象中感受距离的几何意义. (二)学习目标

1.了解平面两点间的距离与空间两点间的距离之间的关系. 2.理解空间两点间的距离公式的概念. 3.掌握用距离公式计算空间两点间的距离的方法. (三)学习重点

1.不同维度下距离公式的特点. 2.两点间的距离公式的含义. 3.空间中两点间的距离的计算方法. (四)学习难点

1.平面距离与空间距离的差别. 2.距离公式的几何意义. 3.建立适当的空间直角坐标系计算空间两点间的距离. 二、教学设计

(一)课前设计

1.预习任务

(1)读一读:阅读教材第136页至第137页,填空: 在空间中,点P(x,y,z)到坐标原点O的距离|OP|＝在空间中,P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的距离|P1P2|＝(2)写一写:线段中点的坐标是什么？

在空间直角坐标系中,若已知点A(x1,y1,z1)与点B(x2,y2,z2),则线段AB的中点坐标是x2y2z2. (x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. (

x1x2y1y2z1z2,,). 222

1 / 10

2.预习自测

1.已知空间三点的坐标为A(1,5,2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A、B、C三点共线,则p、q的值分别为(

) A.3,2 B.2,3 C.3,2 D.3,2

答案：A. 2.正方体不在同一平面上的两顶点为A(1,2,1),B(3,2,3),则正方体的体积是() A.16 B.192 C.64 D.48 答案：C. 3.点P(1,2,3)关于点Q(4,5,6)的对称点的坐标为() A.(7,8,9) B.(9,8,7) C.(5,7,9) D.(9,7,5) 答案：A. (二)课堂设计

1.知识回顾

（1）空间一点M的坐标可以用三元有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z). （2）点(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(x,y,z);关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(x,y,z);关于坐标平面zOx的对称点的坐标为(x,y,z). （3）中点公式：P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的中点的坐标为(2.问题探究

探究一

重温平面距离,认识空间距离

●活动①数形结合,重温平面距离

2 / 10

x1x2y1y2z1z2,,). 222

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的. 【设计意图】回忆点与线段之间的关系,体会数形结合的思想. ●活动②数形结合,重温平面距离

设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算?

图1

如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=x2y2z2. 【设计意图】回忆点的投影关系,体会数形结合的思想. ●活动③类比推广,认识空间距离

给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. 利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. 【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性. 探究二

探究两点间的距离的计算方法

●活动①类比推广,认识空间

在空间直角坐标系中,空间两点之间的距离应怎样计算？

由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. 【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性

3 / 10

●活动②类比推广,认识空间

平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

图2 平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广. 【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性

●活动③类比推广,认识空间

试根据②③推导两点之间的距离公式. 如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=(x2x1)2(y2y1)2. 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2z1|.在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. 【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性

探究三

结合实例、探究空间两点间距离的表示方法

●活动①归纳梳理、理解提升

例1.已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：

(1)线段AB的中点坐标和长度；

(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A、B都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决

4 / 10

不能因为粗心导致结果错误. 解:(1)设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得x=以AB的中点坐标为(2,3130351=2,y==,z==3.所22223,3). 2根据两点间距离公式,得d(A,B)=(13)2(03)2(51)229, 所以AB的长度为29. (2)因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等, 所以有等式：(x3)2(y3)2(z1)2(x1)2(y0)2(z5)2. 化简得4x＋6y－8z＋7＝0, 因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：

①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例. ②到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面. 变式训练：

1.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,3,1)的距离相等. 解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|, (01)2(00)2(z2)2(01)2(03)2(03)2(z1)2, 整理并化简,得z=3,所以M(0,0,3). 【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识. ●活动②互动交流、初步实践

例2.证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.

活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明:由两点间距离公式得：

|AB|=(74)2(13)2(21)227,

|BC|=(57)2(21)2(32)26,

5 / 10

|CA|=(45)2(32)2(13)26. 由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC是一等腰三角形. 点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长. 变式训练

2.三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5),试证明△ABC是一直角三角形. 活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定. 证明:因为三个顶点坐标为A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5),所以

|AB|=(11)2(21)2(31)2=3, |BC|=(01)2(01)2(51)232, |CA|=(10)2(20)2(35)2=3. 又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 【设计意图】通过几何的直观性与代数的严谨性,培养数形结合的基本功. 3.课堂总结

知识梳理

(1)空间两点间的距离公式的推导与理解. (2)空间两点间的距离公式的应用. (3)建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 重难点归纳

(1)结合长方体的长宽高理解点的坐标(x,y,z),培养立体思维,增强空间想象力. (2)学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则,切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系. (3)在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用,突出化空间为平面的解题思想. (三)课后作业

基础型自主突破

1.若A(1,3,2)、B(2,3,2),则A、B两点间的距离为(

)

6 / 10

A.61 B.25 C.5 D.57 答案：C. 解析：【知识点】两点间距离的公式. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】AB(12)2(33)2(22)25. 点拨：根据距离公式进行计算. 2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3),则对角线AC1的长为(

) A.9 B.29 C.5 D.26 答案：B. 解析：【知识点】两点间距离的公式. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】由已知求得C1(0,2,3),∴|AC1|＝29. 点拨：根据距离公式进行计算. 3.到点A(1,1,1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足(

) A.x＋y＋z＝－1 B.x＋y＋z＝0 C.x＋y＋z＝1 D.x＋y＋z＝4 答案：B. 解析：【知识点】两点间距离的公式. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】|AC|＝|BC|⇒(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2.即x＋y＋z＝0. 点拨：根据距离公式进行计算.

7 / 10

4.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是(

) A.A、B、C三点可以构成直角三角形

B.A、B、C三点可以构成锐角三角形

C.A、B、C三点可以构成钝角三角形

D.A、B、C三点不能构成任何三角形

【知识点】两点间距离与勾股定理. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】|AB|＝2,|BC|＝3,|AC|＝1,∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.故构成直角三角形. 点拨：根据距离公式进行计算. 答案：A. 5.已知A(x,5x,2x1),B(1,x2,2x),当|AB|取最小值时,x的值为(

) A.19 8B.7

8C.7

D.19

14答案：C. 解析：【知识点】两点间距离与二次函数. 【数学思想】数形结合. －328【解题过程】|AB|＝14x2－32x＋19,∴当x＝－2×14＝7时,|AB|最小. 点拨：先转化为二次函数,再求函数最值. 6.点P(x,y,z)满足(x1)2(y1)2(z1)22,则点P在(

) A.以点(1,1,1)为球心,以2为半径的球面上

B.以点(1,1,1)为中心,以2为棱长的正方体内

C.以点(1,1,1)为球心,以2为半径的球面上

D.无法确定

答案：C. 解析：【知识点】两点间距离与球面公式.

8 / 10

【数学思想】数形结合. 【解题过程】视为动点P(x,y,z)到定点(1,1,1)的距离为2. 点拨：根据几何意义进行判断.

能力型师生共研

7.在空间直角坐标系中,正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3,1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________. 【知识点】立方体的对称性. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】棱长为(30)2(11)2(22)2点拨：根据几何意义进行计算. 239答案：3. 358.已知P2，2，z到直线AB中点的距离为3,其中A(3,5,7),B(2,4,3),则z＝________. 答案：0或4. 解析：【知识点】点的对称性. 【数学思想】数形结合. 19【解题过程】利用中点坐标公式,则AB中点C2，2，－2,|PC|＝3,即

2239. 333159()2()2(z2)23,解得z＝0或z＝4. 2222点拨：根据距离公式进行计算.

探究型多维突破

9.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________. 答案：(0,1,0). 解析：【知识点】点的对称性. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】设M的坐标为(0,y,0),由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2

9 / 10

＋(0－1)2,整理得6y＋6＝0,∴y＝1,即点M的坐标为(0,1,0). 点拨：根据距离公式进行计算. 10.在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小. 答案：(1,0,0). 解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上,∴可设M(x,1x,0). ∴|MN|＝(x6)2(1x5)2(01)22(x1)25151,当且仅当x＝1时取等号,∴当点M坐标为(1,0,0)时,|MN|min＝51. 点拨：先转化为二次函数,再求最值.

10 / 10