2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学内容分析

平面与平面之间的位置关系

教学目标：

1．理解掌握空间平面之间的位置关系．

2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．

3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界．

教学重点：总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。

教学难点：总结求二面角的方法。

教学过程：

一．复习旧知：

二．典例解析：

1．例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。

解析：

（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。

（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。

（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。

猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O+OF=A1FA1O⊥OF。

（4）∵ CC1⊥平面AC ∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF ∴

平面BDF⊥平面AA1C 评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路

2．例2．如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC= ∠BAD=90，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=60。

（1）求异面直线DA与BC所成的角；

（2）求异面直线BD与AC所成的角；

解析：

（1）在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE=60

∴ DA与BC成60角

（2）过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DBF为BD与AC所成的角

由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=120

00000222

∴ DF=a+a-2a·(

∴ DF=3a 222212)=3a

2△DBF中，BF=AC=2a ∴ cos∠DBF=1

41

40∴

异面直线BD与AC成角arccos３．例３．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成45角，求此三棱柱的侧面积和体积。

解析：

在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD ∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=45

∴

△DAB≌△DAC ∴

∠CDA=∠BDA=90，BD=CD ∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’

∴

△DBC是斜三棱柱的直截面

在Rt△ADB中，BD=AB·sin45=0002a

2a2∴

△DBC的周长=BD+CD+BC=(2+1)a，△DBC的面积=

4∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab a2b∴ V=SDBC·AA’=

4评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。

４．例４．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。

解析：

取PC和AB的中点M和N ∴

VPABCVPAMBVCAMB22221PCSAMB

3在△AMB中，AM=BM=17-8=25×9 ∴ AM=BM=15cm，MN=15-9=24×6 ∴ S△AMB=11123×AB×MN=×18×12=108(cm)∴ VP-ABC=×16×108=576(cm) 223222

评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等

三．课堂小结：１．复习巩固．２．规律总结．３．思想升华．

四．作业

教材P78复习参考题