4.3.2 空间两点间的距离公式优秀教案

4.3.2空间两点间的距离公式

一、学习目标

1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法. 2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引

1. 预习课本136-137页，做138页练习. 2. 重点：空间两点间的距离公式及应用. 3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现

1. 空间两点间的距离公式

空间中两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z3)之间的距离是P1P2

. 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例. 2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的x1x2，y1y2，z1z2，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换. 3. 空间两点间距离的求法

（1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离. 4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程AxByCzD0（A,B,C不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：

xa表示平行于yOz面的平面，且与yOz面的距离为a. yb表示平行于xOz面的平面，且与xOz面的距离为b. zc表示平行于xOy面的平面，且与xOy面的距离为c. x0,y0,z0分别表示yOz，xOz，xOy三个坐标平面. 5. 空间两点间距离公式的推导方法

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剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点P(x,y,z)，

求点P到原点O的距离. 如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B，

则点B坐标是(x,y,0)，在xOy平面上有OBx2y2.

在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得

OAzP(x,y,z)yB(x,y,0)OPOBBP，

22x

因为BPz，所以OPx2y2z2.

这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点

P(x,y,z)与原点之间的距离是OPx2y2z2. z

（2）下面再看一般的情况：如图所示，设点P1(x1,y1,z1)，P1P2P2(x2,y2,z2)是空间任意两点，且两点在xOy平面上的射影分别为M,N，那么M,N的坐标为M(x1,y1,0)，N(x2,y2,0). 在xOy平面上，MN(x1x2)2(y1y2)2. 过点P1作P2N的垂线，垂足为H，则

N1OM1MN2M2HyNxMP1z1，NP2z2，所以HP2z1z2. 在直角三角形PHP12中，

PHMN(x1x2)2(y1y2)2，

1根据勾股定理，得PP12PHHP2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. 122因此空间中两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离公式可以表示成下面形式：

PP(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. 12五、课堂练习

1. 点P(632,,)到原点的距离是（

）

632

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A 30

B 1

C 633

D 635

62. 点P(a,b,c)到坐标平面xOz的距离是（

）

A a2b2

B a

C b

D c

3. 点P(2,3,4)到y轴的距离是（

）

A 13

B 25

C 5

D 29

4. 若A(4,7,1)，B(6,2,z)，AB11，则z

. 5. 已知点A(1,2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1，则A，A1两点间的距离为

. 6. 如图，长方体ABCDA1BC11D1中，已知AB3，

A1DD1zC1B1CyBBC2，AA12，用空间两点间的距离公式计算对

角线B1D的长为

. 7.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，

ADCD,AB//CD,AB

AD2,CD4，M为CE的中点。

(1)求证：BM//平面ADEF；

(2)求证：平面BDE平面BEC

8.求过点P（1，1），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程

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