3.1.1 变化率问题名师教学视频（文字实录）

3.1.1变化率问题教学设计

（人教A选修1-1）

教材内容分析

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》是在学***均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。本节课是该内容的第一课时

导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。

平均变化率和瞬时变化率是为了导数的引入做过渡性的铺垫，要避免学生把过多的注意力放在“平均变化率”这个概念和它的求解方法上，而是把目光更多的放在体会知识的形成过程上。

学生学情分析

学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．

而在本课时变化率问题的学习中，课本给出了一个思考，观察函数平均变化的图像，表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。

教学目标

1、知识与技能目标

通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解平均变化率与瞬时变化率概念的实际背景，会求具体简单函数的平均变化率； 2、过程与方法目标

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法； 3、情感态度与价值观

经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。

教学重点：理解平均变化率的概念和几何意义

教学难点：理解气球平均变化率问题和“逼近”的思想方法的应用。

教学过程设计

1．创设情境、引入新课

生活中有一些现象值得我们去研究，比如，网球比赛中，选手发出的网球的时速，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

设计意图：自然引出瞬时速度的定义，激发学生对瞬时速度的求知欲

而在去年6月份，震惊全国的南京宝马车肇事案中，车辆经过事发路口时候，车速达195.2km/h。南京交警是怎么鉴定这个速度的呢？从一份鉴定报告书中，我们可以看到，监控视频的两次抓拍的过程中，汽车移动的距离是3.615m，时间间隔为1s。通过计算，发现交警鉴定的速度是用位移除以时间。那么，交警15的这种用平均速度来计算瞬时速度的方法合理吗？为什么？

设计意图：引导学生，当时间间隔非常小，平均速度与瞬时速度就极为接近，从而为探求瞬时速度埋下伏笔

2．实例探索，引出概念

问题1 经营收益率

假设你准备用10万元进行投资,现有A、B两个投资项目,经过市场分析,获悉其预期收益是固定的:项目A在6个月内的收益为2万元,项目B在两年内的收益为9万元,问:你会选择哪个项目投资? 设计意图：由实际生活中的例子让学生体会只比较一个量的变化是不行的，必须综合考虑两个量的变化情况，激发学生学习的兴趣。且此例子中的两个变量较明显，为后面“气球膨胀率”和“高台跳水”问题提供研究方向。

活动预设：学生根据已有的生活经验，通过计算能够对两个项目的效益做出判定：应该用盈利和时间比值来判定。

问题2 气球膨胀率

将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：

（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？

（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？

（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？

（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？

设计意图：通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

活动预设：学生可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢，即气球的膨胀速度越来越慢，但不知把空气容量的增加转化为体积的增大，应对此加以引导，从而由体积变化量和半径变化量的比值得到气球膨胀率。

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4分析: r(V)33V，

4⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm)

10可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题3 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?它的物理意义是什么？

设计意图：分析实例，抽象数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景

活动预设：学生会根据物理知识来求解平均速度，教师可在学生讨论的基础上启发大家完成下列问题：试分别计算：0t0.5和1t2的平均速度。

学生通过手工计算得到：

2r(V2)r(V1)

V2V1

在0t0.5这段时间里，vh0.5h04.05m/s；

0.50在1t2这段时间里，vh2h18.2m/s

21通过物理知识不难解释这两个平均速度的物理意义。如v4.05m/s表示运动员在0到0.5秒这段时间内上升了1.6米。

ht2ht1学生经过上面的计算抽象出其中的平均变化率的计算公式：

v

t2t1思考书上73页探究：计算运动员在0t65这段时间里的平均速度（0m/s），并思考下列49问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？( 不是) （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

设计意图：让学生理解平均变化率不能具体描述运动员的运动状态，为下一节瞬时变化及导数的概念做准备。

3．分析归纳，得到概念

问题4 对比三个问题平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f(x)，如何计算其平均变化率？

设计意图：让学生结合两个实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程。

活动预设：学生讨论，分析，归纳根据前面的实例，得到结论：

定义：一般地,函数y=f(x)中，式子fx2fx1称为函数f(x)从x1到x2的平均变x2x1化率，则: yfx2fx1 。

xx2x1其中x、y的值可正、可负，但x值不能为0，

y

的值可以为0。

问题:5 观察函数f(x)的平均变化率，你能联想到什么？

设计意图：从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思

想。

活动预设：学生观察图像，并通过几何画板的演示，得到平均变化率即反映了直线AB 的斜率。 4、自主归纳，提升认识

问题11：通过本节课的学习你有哪些收获？

设计意图：通过小结帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，更好地理解本节课的知识和思想方法。

活动预设：在学生自主小结的基础上揭示函数思想、逼近思想方法，概念形成过程中的抽象概括。

目标检测设计

1．已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t+5t （1）求物体第5到5.5秒的平均速度。

（2）求物体第5到5.4秒的平均速度。

（3）求物体第5到5.3秒的平均速度。

（4）求物体第5到5.1秒的平均速度。

设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。

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