小结名师教学实录

《函数的单调性与导数》教学设计

司各庄中学

侯江丽

【课题】函数的单调性与导数

【教材】人民教育出版社《数学》选修1-1 【课时】1课时

【教材分析】

函数的单调性与导数是《数学》选修1-1第三章第3.1节的内容。在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在前两节中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。

函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，在本章第3.2节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】

课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较差，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，现在早已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。

在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。

【教学目标】

1、知识与能力：

理解单调性与导数的关系,并会利用导数解决函数的单调性. 2、过程与方法：

通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3、情感态度与价值观：

（1）

通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。

（2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点】

利用求导的方法判定函数的单调性。

【教学难点】

为什么会将导数与函数的单调性联系起来

【教学方法】

小组合作探究式教学

【课时安排】 1 课时

【教学准备】

多媒体课件 【教学设计说明】

函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢。那么高一是处在第一个阶段，而高二我们是处在第二个阶段。

根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象。

【教学过程】

教学环节

教师活动

学生活动

设计目的

提出问题：

思考以前学习过引导学生理解函新课引入

a.

函数单调性的定义是什的数学知识，说出数的单调性概念

么？

两个问题的概念及导数的概念

b.

导数的定义是什么？

的要点来。举手回

教师引导：函数单调性体现答。

新课教学

出了函数值y随自变量x的

变化而变化的情况,而导数

也正是研究自变量的增加

量与函数值的增加量之间

的关系，于是我们设想一下

能否利用导数来研究单调

性呢？

显示多媒体（出示4个函学生思考并举手，

数的解析式及图象）引导学再指定一个学生让学生观察导数探究函数生观察并回答以下问题：

上台求出函数的的符号与函数图的导数与分别求出这4个函数的导导数。

象有何联系。

函数的单数？

让学生能了解函调性的关引导学生思考并提出以下学生思考并举手数的单调性与函系

问题：

回答：

数的导数符号有

①

每一个函数在某一点的①

是。根据导数关。

切线斜率值是否等于该的几何意义可

函数在该点处的导数得。

值？

②

其斜率值都大

②

同一个函数在每一点处于零或都小于

的切线的斜率值有何特零。当斜率值

点？它与该函数的单调都大于零时，让学生总结出曲

性有何联系呢？

其函数为单调线的切线的斜率

递增；当斜率与导数的关系及

归纳总结

内容讲授

值都小于零曲线函数的导数

时，其函数为与曲线的单调性

单调递减。

之间的关系。让学③

同一个函数的单调性与③

若函数的导数生能了解曲线的该函数的导数值有何联值大于零，则单调性也与函数系呢？

函数为单调递的导数符号有关。

增；若函数的

导数值小于

零，则函数为

单调递减。

④

函数的导数值、单调性④

有关系

与区间有关系吗？

抽象概括

定理：

一般地，函数y＝f（x）在某

让学生再次观察个区间(a,b)内

并总结出曲线的1) 如果恒有

f′(x)>0，

切线的斜率值与那么

y=f（x)在这个区间

导数的关系及曲（a,b)内单调递增；

线的单调性与导2) 如果恒有

f′(x)<0，

数的关系。

那么

y=f（x）在这个区间

(a,b)内单调递减。

注意：

①应正确理解

“ 某个区

间

”

的含义，

它必是定

义域内的某个子区间。

②如果在某个区间内恒有f

/(x)＝0

,则

f(x) 为常数函

数.

题型一图像问题：例1：已

知导函数的下列信息：

当1

f′(x)＞0 学生在教师引导

当x>4,或x<1时，

f′(x) ＜0 下完成本题，进一让学生体会图形当x=4,或x=1时，f′(x)

步

体会函数的单的画法不唯一。

=0 调性与导数的正

试画出函数f(x)图象的大致负的关系，教师可

形状。

以提供不同的画

法，让学生作出判

断。

题型二求函数的单调性

例2、判断下列函数的单调

性，并求出单调区间：

例题讲解

f(x)2x33x236x16 分析：

根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。

解：引导学生回答问题并同时板书。

①

函数

f(x)2x33x236x16的定义域是什么？其导数如何求？

函数的定义域是,，其导数值是：

f(x)6x26x36

6(x2)(x3)

②若f(x)0时，x的区间是什么？若f(x)0时，x的区间又是什么？

当x(,2)或x(3,)时，f(x)0，因此，在这两个区间上，函数是增加的；

当x(2,3)时，f(x)0，因此，在这个区间上，函数是减少的。

③讨论函数单调性的一般步骤是什么？

板书：

a 求函数的导数。

b 讨论单调区间，解不等式f(x)0，解集为增区

思考：回答老师问题，体会函数的单调性与导数符号间的关系及利用

通过实例让学生掌握利用函数的导数符号来判定函数单调性的方法及过程；进一步让学生体会利用导数工具解决函数的单调性问题。

让学生熟悉解不等式。

明确利用导数是求函数单调区间

课堂练习

导数判定函数单f(x)0间；解不等式，解调性的一般步骤。

集为减区间。

c 得出结论。

思维误区、确定下面函数的学生在小组内讨单调递增区间：

论并给出展示，教 师给出指正，并给f(x)=x/2-ln(1+x)+1 出课件展示。

课件展示规范解答

学生积极思考并

举手回答；教师指

定一个学生回答，教师提问：上述求函数单调教师板书。

区间应如何进一步改正

求函数的单调区间的一般

步骤:

(1)

求出函数 f(x)的定

义域A；

(2)

求出函f(x)数的导

数

(3)

不等式组

xA

f(x)0 

的解集为f(x)的单

调递增区间；

(4)

不等式组

xA



f(x)0 的解集为f(x)学生分组练习并的单调减区间； 展示，共同来研究练习：

该函数的单调性。

1、求下列函数的的单

调区间:

① f(x)=x2-2x-3 ;

②y3xx3

32③ f(x)=2x+3x-24x+1 ; 课后学生合作探

讨。

小结：

本节课从几个函数的图象与区间上的导数值之间的最简单的方法

让学生自己体会出错的原因，加深印象

加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握。

让学生对所学知识进一步巩固和熟练掌握.

培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力。

课堂小结

作业

的关系，引入了函数单调性让学生明确本节的导数定义，根据定义让学课的中心内容是生明确了利用导数求函数什么。为下一节学单调性的方法，并掌握了求习利用导数求函函数单调性的一般步骤。

数的极值作准备。

课后思考；

根据函数的导数定义及利用导数求函数单调性的方法步骤，如何画出函数的大致图象？

课本93页练习1、2. 【板书设计】

标题（函数单调性与导题型一图像问题

练习

题型二求函数的单调求下列函数的的单调区间: 数） 2 f(x)=x-2x-3 ; 一般地，函数 y＝f(x)区间

在某个区间(a,b)内

求函数的单调区间的y3xx3

1) 如果恒有f (x)>0，一般步骤: 那么y＝f(x)在这个区1.求出函数 f(x)的定f(x)=2x3+3x2-24x+1y3xx3

间(a,b)内单调递增；

义域A；

2) 如果恒有f (x)<0，2.求出函f(x)数的导

那么y＝f(x)在这个区

数 间(a,b)内单调递减。

如果在某个区间内恒3.不等式组 xA有f (x)=0 ,则 y＝ f(x)0 f(x) 为常数函数. 的解集为f(x)的单调递增区间；

4．不等式组

xA

f(x)0

的解集为f(x)的单调减区间；

【教学反思】

1、本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去。

2、本节课存在的不足之处是：

①

教学引入时间较长，致使整堂课时间安排显得前松后紧。

②

在引导学生探讨如何把导数与函数的单调性联系起来时，列举的函数有点多；应该去掉1-2个函数

③

教态不够自然、大方；显得过于紧张。

④

由于前松后紧，课堂练习不够到位。

⑤学生基础较差，课堂气氛和小组活动不够活跃。

3、改进的思路：①选取函数时去掉两个函数。

②在引导学生提问时，问题要简明扼要。

③多进行公开课，锻炼自己的胆量和语言表达能力。