小结教学设计及说课稿

空间几何体的三视图、表面积和体积

高考统计·定方向

热点题型

真题统计

2018全国卷ⅡT16；2017全国卷ⅠT7；

题型1：空间几何体的三视图与表面积或体积

命题规律

分析近五年全2017全国卷ⅡT4；2016全国卷ⅠT6；

国卷发现高考命题2016全国卷ⅡT6；2016全国卷ⅢT9；

有以下规律：

2015全国卷ⅠT6，T11；2015全国卷ⅡT6；

2014全国卷ⅠT12 1.以组合体的三视图为背景，考查空间几何体表面积、体积的计算，2017全国卷ⅢT8；2016全国卷ⅢT10；2015全国卷ⅡT9；

难度中档较低；

2.对于球与几何体的切接问题、题型2：球与几何体的切接问题

题型3：几何体的表面积和体积的最值问题

最值问题，难度稍2018全国卷ⅢT10；2017全国卷ⅠT16

大，重在转化，考查学生的空间想象及等价转化能力.

题型1

空间几何体的三视图与表面积或体积

(对应学生用书第40页) ■核心知识储备·

1．画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”．

2．柱体、锥体、台体的侧面积公式

(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；

1

1(2)S锥侧＝2ch′(c为底面周长，h′为斜高)；

1(3)S台侧＝2(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高)．

3．柱体、锥体、台体的体积公式

(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

1(2)V锥体＝3Sh(S为底面面积，h为高)；

1(3)V台＝3(S＋SS′＋S′)h(不要求记忆)．

4．球体的体积、表面积公式

4V＝3πR3；S＝4πR2(其中R为球的半径)．

■高考考法示例·

【例1】

(1)(2018·洛阳二模)某几何体的三视图如图2-4-1所示，则其表面积为(

)

图2-4-1 17π19πA．2

B．9π

C．2

D．10π

(2)若正三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥A-BCD的高为(

) 6326A．6

B．3

C．2

D．3

1(1)B

(2)A

[(1)由三视图可知几何体为圆柱与4球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1. 111所以几何体的表面积为π×12＋2π×1×3＋4π×12×4＋2π×12＋2π×12＝9π，故选B．

2

(2)设三棱锥A-BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC22331＝AD＝2BC＝2，△BCD的面积为4×12＝4.由VA-＝V得hBCDB-ACD3S△BCD·11311226＝3S△ACD·AB，即3×4×h＝3×2××2，解得h＝6，即三棱锥A-BCD26的高h＝6.] [方法归纳] 1．在长方体或正方体中根据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系．

2．空间几何体的体积与表面积求法

(1)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补转化成规则几何体求解．

(2)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高．

■对点即时训练·

1. (2018·太原模拟)如图2-4-2，已知在多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为(

) 2

图2-4-2 A．2

B．4

C．6

D．8 3

B

[过点C作CM∥AB，过点B作BM∥AC，且BM∩CM＝M，取DG的中点N，连接FM，FN，CN，CF，如图所示．易知ABMC-DEFN是长方体，且三棱锥F-BCM与三棱锥C-FGN的体积相等，故几何体的体积等于长方体的体积4.故选B．] 2．(2018·安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图2-4-3所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(

)

图2-4-3 A．4π＋16＋43

C．4π＋16＋23

B．5π＋16＋43 D．5π＋16＋23 D

[由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱1的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2×2×2×3＝23，1半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2×2×π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋23，故选D．] 题型2

球与几何体的切接问题

(对应学生用书第41页) ■核心知识储备·

球的切、接问题的常用结论

(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2＋b2＋c2＝2R. (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝2R. (3)棱长为a的正方体的面对角线长等于与棱内切球的直径，即2a＝2R. (4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为4

hx，则该几何体外接球半径R满足R2＝2＋x2. ■高考考法示例·

【例2】

(1)已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝23，SA＝1.则该三棱锥的外接球的体积为(

) 13A．813π

13C．6π

B．13π

D．13136π

2(2)《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图2-4-4所示的堑堵ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1-ABB1A1的外接球的表面积是(

)

图2-4-4 A．25π

B．50π

C．100π

D．200π

(1)D

(2)B

[(1)∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝23，

AC∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r＝2＝3，则三棱锥外接球即为以△ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径R满足R＝13SAr2＋2＝2，

241313故三棱锥外接球的体积V＝3πR3＝6π.故选D．

5

(2)以BC，BA，BB1为边，将图形补形为长方体(图略)，长方体外接球即阳马的外接球，长方体的对角线为球的直径，即(2R)2＝32＋42＋52＝50，故球的表面积为4πR2＝50π.选B．] [方法归纳]

1．多面体与球接、切问题求解策略

(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．如本例(1)及对点即时训练(1)．

(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．如本例(2)．

2．三棱锥P-ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形

(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点．

(2)P-ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．

■对点即时训练·

1. (2018·保定模拟)如图2-4-5，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8 cm，底面边长为12 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为(

)

图2-4-5 A．36π cm2

B．64π cm2

C．80π cm2

D．100π cm2

6

B

[根据题意，球的截面圆是边长为12的正三角形的内切圆，易知内切圆的半径为23，∵球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，∴d＝8－6＝2(cm)，设球的半径为R

cm，则R2＝(R－2)2＋(23)2，解得R＝4，则球的表面积为4πR2＝64π(cm2)．故选B．] 2．已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．

354π

[由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．

6AE＝AB·sin 60°＝2，

26AO＝3AE＝3，

23DO＝AD－AO＝3，

2211三棱锥的体积VD-＝S·DO＝ABC3△ABC3，

设内切球的半径为r，则

113433VD-＝r(S＋S＋S＋S)＝，r＝，V＝πr＝△ABD△BCD△ACD内切球ABC3△ABC36354π.]

题型3

几何体的表面积和体积的最值问题

(对应学生用书第42页) 与空间几何体有关的最值问题是近几年高考的热点之一，其中与球切、接有关的几何体的最值问题常常涉及体积、截面面积的最值，重在考察学生的空间想象能力；而几何体体积的最值问题常常与图形折叠、展开等知识相交汇，重在考察学生的空间想象及数学建模能力．

■高考考法示例·

►角度一

与球切、接有关的几何体的最值问题

【例3－1】

(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有7

一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(

) 9π32πA．4π

B．2

C．6π

D．3

分类讨论[思路点拨]

球能否与直三棱柱各个面均相切―――――→求V的最大值

B

[由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R.因为△ABC的内切圆半径为439所以Vmax＝3π2＝2π.

故选B．] ►角度二

与空间几何体体积有关的最值问题

【例3－2】

(1)(2018·郴州质量检测)三棱锥A-BCD的一条棱长为m，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，

它的外接球的表面积为(

) 21πA．4

5πC．4

20πB．3

5πD．3

36＋8－103＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤22，(2) (2017·全国卷Ⅰ)如图2-4-6，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．

图2-4-6 (1)B

(2) 415 cm3

[(1)由题意画出三棱锥的图形，

8

其中AB＝BC＝CD＝BD＝AC＝2，AD＝m. 取BC，AD的中点分别为E，F，可知AE⊥BC，DE⊥BC，

且AE∩DE＝E，∴BC⊥平面AED，

∴平面ABC⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的体积最大，

此时AD＝m＝2AE＝2×3＝6. 设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，由球体的对称性知，球心O在线段EF上，

∴OA＝OC＝R，又EF＝AE2－AF2＝666OE＝2－x，∴R2＝＋x2＝－x＋1，

2265解得x＝6.∴球的半径R满足R2＝3，

520π∴三棱锥外接球的表面积为4πR2＝4π×3＝3，故选B．

(2)如图，连接OD，交BC于点G，

226632－＝2，设OF＝x，22

3由题意，知OD⊥BC，OG＝6BC．

设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，

三棱锥的高h＝DG2－OG2＝25－10x＋x2－x2＝25－10x，

11S△ABC＝2×23x×3x＝33x2，则三棱锥的体积V＝3S△ABC·h＝3x2·25－10x＝3·25x4－10x5. 9

5令f(x)＝25x－10x，x∈0，2，则f′(x)＝100x3－50x4. 455令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈2，2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，

则V≤3×80＝415. ∴三棱锥体积的最大值为415 cm3.] [方法归纳]

解答立体几何最值问题的三种思考方向

1根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；

2将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；

3建立函数，通过求函数的最值来求解.

■对点即时训练·

1．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为(

) A．123

C．243

B．183 D．543 1B

[设等边三角形ABC的边长为x，则2x2sin 60°＝93，得x＝6.设△ABC6的外接圆半径为r，则2r＝sin 60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－232＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三11棱锥D-ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×93×6＝183.] 332．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱A1B1中点，P、Q分别为棱AD，DC上的动点，则四面体PEA1Q体积的最大值为________．

2

3

[∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱A1B1中点，P、Q分别为棱AD，DC上的动点，Q到直线A1E的距离为定值22，

10

∴S△A1EQ1＝2×1×22＝2，

11∴d＝2AD1＝2×22＝2，

12∴四面体PEA1Q体积的最大值为3×2×2＝3.] [高考真题] 1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图2-4-7.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(

)

图2-4-7 A．217

B．25

C．3

D．2 B

[由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25.故选B．

] 图(1)

图(2) 11

2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图2-4-8所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

图2-4-8 A．10

B．12

C．14

D．16 B

[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，1下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×2×(2＋4)×2＝12. 故选B．] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图2-4-9，某几何体的三视图是三个半径相等28π的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是3，则它的表面积是(

)

图2-4-9 A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

A

[由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14314328，得到的几何体如图．设球的半径为R，则43πR－8×3πR＝3π，解73得R＝2.因此它的表面积为8×4πR2＋4πR2＝17π.故选A．] [最新模拟] 12

4．(2018·吉安一中等八所重点中学联考)如图2-4-10，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为(

)

图2-4-10 A．4

B．32

C．22

D．23 D

[如图所示，由三视图可知该几何体为四棱锥A-BCDE.

其中，AC⊥平面BCDE，AC＝CD＝DE＝2，CB＝1. ∴AB＝22＋12＝5，BE＝22＋12＝5，AD＝22＋22＝22，

则AE＝222＋22＝23. ∴该几何体最长棱的长度为23，故选D．] 5．(2018·百校联盟TOP20高三联考)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的谷堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3) 若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为(

) A．5尺

B．9尺

C．10.6尺

D．21.2尺

D

[因为250斛＝250×1.62立方尺，设圆锥形的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，∴r＝9，因此250×1.62 1＝3×3×92×h，h＝5，设球的半径为R，则R2＝92＋(5－R)2，可得R＝10.6(尺)，∴2R＝21.2(尺)，故选D．] 6．(2018·唐山市模拟)在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD13

是正方形，SD＝AD＝2，三棱柱MNP-M1N1P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD的棱上，已知M，N，P分别是棱AB，AD，AS的中点，则三棱柱MNP-M1N1P1的体积为________．

1

[由题得M1是BC中点，N1是DC中点，P1是SC中点，PN＝1，MN＝2，12且PN⊥MN，所以三棱柱MNP-M1N1P1的底面积为2×1×2＝2. 1由题得正方形的对角线长22，三棱柱MNP-M1N1P1的高为2×22＝2，

所以三棱柱MNP-M1N1P1的体积为

2×2＝1.] 214