习题4.2教学设计及教案分析

《直线与圆的位置关系》教学设计

秦皇岛市第一中学 张伟宏

一、教材分析：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》必修2中第四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系”的内容，它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系．初中学生已经学过直线与圆的位置关系及判定方法，本节课没有重新定义的概念，将继续通过方程用坐标法研究直线与圆的位置关系、直线与圆相交时被截得的弦长等问题，为选修教材中直线与圆锥曲线的位置关系的学习奠定基础。新课标要求会判断直线与圆的位置关系，为了达到课标要求，本节课的重要知识点是借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系；会求直线被圆截得的弦长。本节课的学习过程体现了建模、数形结合、等价转化、由特殊到一般的思想方法。

通过以上分析可知，“直线、圆的位置关系”起到了深化研究直线与圆的位置关系，突出方法、培养能力、渗透思想、承前启后的重要作用．

二、学情分析：

学生初中已经学过直线与圆的位置关系，前面又学过直线、圆的方程，对“坐标法”

已初步了解，对特殊到一般的数学活动过程已有一定的体会，初步具备了数形结合的思想，为本节课的学习奠定了一定的基础。本节课容量大，对建模的能力和数形结合、归纳推理等能力有较高要求，这也是学习本节课的难点所在。

三、教学目标：

根据以上的教材分析和学情分析，本节课的学习目标确定为以下三个方面：

知识与技能：

（1）知道研究直线与圆的位置关系的必要性；

（2）会判断直线与圆的位置关系；

（3）会求直线和圆相交时的弦长及与弦长相关的问题

过程与方法:

（1）经历实际问题建模成数学问题的过程，培养学生用数学的意识、体验建模思想；

（2）通过学生全程参与知识的建构过程，进一步体会“数形结合”、“等价转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法。

情感态度价值观：

（1）通过问题设置培养学生对新知的认同和兴趣。

（2）通过学习过程培养学生积极探索、发现新知、总结规律的能力；培养学生锲而不舍的意志品质和去伪存真的科学精神。

四、教学重难点：

（1）直线与圆的位置关系及判断方法；直线被圆截得的弦长的求法

（2）归纳总结出直线与圆的位置关系的判定方法并会运用。

教学过程: 问题引入: （问题情景）2014年3月8日凌晨，由马来西亚飞至北京的MH370航班与地面指挥中心失去联系，3月24日凌晨马来西亚发言人宣布MH370坠落于印度洋南部海域，飞机上包括154名中国乘客在内的239人全部失踪，引起国际社会高度关注。事后搜寻工作在紧张进行，一艘轮船由马来西亚港口沿某航线向印度洋南部海域某港口航行执行搜寻任务，轮船在沿直线航行至印度洋南部海域某港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？你怎样解决这个问题？请说出你的思路。

下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!! 新知探究: 由平面几何知,直线与圆有三种位置关系: (1). 直线与圆相交,有两个公共点; (2). 直线与圆相切 , 只有一个公共点; (3).直线与圆相离,没有公共点. 直线与圆的位置关系的判定方法：

直线l：Ax+By+C=0，

)222圆O：(x-a+(y-b)=r(r>0) 1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：

daAbBCA2B2

2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：

AxByC0设方程组消元所得一元二次方程222(xa)(yb)r的解的个数为n

三、典例剖析

1、如图，已知直线l:3xy60和圆心为C的圆x2y22y40，

判断直线l

与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组

成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离

与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；

(1)3xy602yx3x20，

解法一：联立方程2消去得：2xy2y40(2)因为10，所以直线l与圆相交，有两个公共点. 解法二：圆x2y22y40可化为x2(y1)25，圆心C(0,1)，半径r5

C(0,1)到直线l

的距离d共点. 5105，所以直线l

与圆相交，有两个公210由x3x20，解得x12，x21，

把x12代入方程（1），得y10；把x21代入方程（1），得y23；

所以，直线l

与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A(2,0),B(1,3).

2、已知过点M(3,3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为45，求直线2l的方程；

解：圆的标准方程为x2(y2)225，圆心C(0,2)，半径r5. 所以弦心距d52(25)25，

由已知，设直线l的方程为y3k(x3)，即kxy3k30，

根据点到直线的距离公式，d|3k1|1k2，

因此，|3k1|1k25，即|3k1|55k2，

1，或k2，

22两边平方，并整理得2k3k20，解得k-所以，所求直线方程为：x2y90，或2xy30.

变式练习

直线x+3y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x+y-4x+1=0的位置关系是22( ) A.直线与圆相切 B.直线与圆相交但不过圆心

C.直线与圆相离 D.直线过圆心

课后作业：

1.课本第128页习题。

2.（选做题）判断直线3x4y20 与圆 xy－2x0 的位置关系．

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教学流程

问题引入,教师活动

（问题情景）2014年3月8日凌晨，由马学生活动

学生感悟体验，思考回答。

设计意图

随着问题的提出，激发了学生的求知欲望，提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣

问题的引导可以使学生更好的把握问题的关键。

探求新知：

来西亚飞至北京的MH370航班与地面指挥中心失去联系，3月24日凌晨马来西亚发言人宣布MH370坠落于印度洋南部海域，

飞机上包括154名中国乘客在内的239人

全部失踪，引起国际社会高度关注。事后搜寻工作在紧张进行，一艘轮船由马来西亚港口沿某航线向印度洋南部海域某港口航行执行搜寻任务，轮船在沿直线航行至印度洋南部海域某港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？你怎样解决这个问题？请说出你的思路。

下面我们以太阳的起落为例. 以蓝线为水平线,圆圈为太阳! 注意观察!!

知识探究

一、直线与圆的位置关系

1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切. 2.直线和圆有两个公共点,叫做

学生归纳与总结

先让学生尝试着在黑板上画出直线和圆，体会在直线和圆的位置关系

直线和圆相交. 3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 二、直线与圆的位置关系的判定方法：

直线l：Ax+By+C=0，

)222圆O：(x-a+(y-b)=r(r>0) 3.利用圆心到直线的距离d与半径r的大

学生观察例1，找出圆心和半径对应，再概括总结得到的结论

这个问题的设计是为了让学生更加准确的把握确定圆的要素的对应。

让学生带着思考问题观察试验，使其有目的的去寻找答案，有效的利用课堂时间，达到教学目标。

通过观察，发现犯错的根本原因，从而再次突出了立体感这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。

通过学生的板演，规范解题步骤。

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小关系判断：

4.利用直线与圆的公共点的个数进行判学生互相交流，回答断：补充

AxByC0

设方程组消元所得一元二次方程222(xa)(yb)r的解的个数为n

1、如图，已知直线l:3xy60和圆

学生——说出自己思心为C的圆x2y22y40，

考的结果。带着问题判断直线l

与圆的位置关系；如果相思考讨论,

交，求它们交点的坐标.

分析：方法一：判断直线l与圆的位

置关系，就是看由它们的方程组

先独立思考例2、变成的方程组有无实数解；方法式练习，再分组展示

二，可以依据圆心到直线的距离

与半径长的关系，判断直线与

daAbBCAB圆的位置关系；

解法一：

解法二：

学生1、2黑板展示例2的结果，另外两个同学3、4主动变式练习思考的结果。

2、已知过点M(3,3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为45，求直线l的方程；

【变式练习】

1.设直线过点(0，a)，其斜率为1,且与圆22x+y=2相切，则a的值为( ) A.± B.±2 C.±2 D.±4

例2 已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x+y+4y-21=0，所截得的弦长为4求直线l的方程.

【变式练习】

直线x+22

5，3y=0绕原点按顺时针方向旋转2230°所得直线与圆x+y-4x+1=0的位置关系是( ) B.直线与圆相切 B.直线与圆相交但不过圆心

C.直线与圆相离 D.直线过圆心

归纳总结：

课堂小结

学生回顾，总结. 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过

程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。

课后思考：

课后作业：

1.课本第128页习题。

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散

作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。

2.（选做题）判断直线3x4y20

22xy－2x0 与圆 的位置关系．

【板书设计】

4.2 直线与圆的位置关系

一、基础知识：

1、直线和圆位置关系的判定方法：

①几何法

②代数法

2．直线和圆相交时弦长的求法：

①

②

变式1：

例1、

③

2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：

①数形结合：善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径

②等价转化：把几何问题等价转化为代数问题

③坐标法：还要合理运用“设而不求”，简化运算过程

变式2：

设计意图：按照突出重点结构简明原则设计板书，力求纲举目张呈现本节主要内容。

三、典例剖析

1、如图，已知直线l:3xy60和圆心为C的圆x2y22y40，

判断直线l

与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组

成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离

与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；

解法一：联立方程3xy60(1)22xy2y40(2)消去y得：x3x20，

2因为10，所以直线l与圆相交，有两个公共点. 解法二：圆xy2y40可化为x(y1)5，圆心C(0,1)，半径r5

2222C(0,1)到直线l

的距离d5105，所以直线l

与圆相交，有两个公210

共点. 由x3x20，解得x12，x21，

把x12代入方程（1），得y10；把x21代入方程（1），得y23；

所以，直线l

与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A(2,0),B(1,3).

2、已知过点M(3,3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为45，求直线2l的方程；

解：圆的标准方程为x2(y2)225，圆心C(0,2)，半径r5. 所以弦心距d52(25)25，

由已知，设直线l的方程为y3k(x3)，即kxy3k30，根据点到直线的距离公式，d|3k1|，

1k2因此，|3k1|，即1k25|3k1|55k2，

两边平方，并整理得2k23k20，解得k-12，或k2，

所以，所求直线方程为：x2y90，或2xy30.