3.3.1 两条直线的交点坐标优质课教学设计

【教学目标】

1、知识与技能目标：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程. 2、过程与能力目标：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想．

3、情感与态度目标：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神．

【教法指导】

重

点:

能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标．

难

点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程．

【教学过程】

☆情境引入☆

问题1. 直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？

问题2. 如何求二元一次方程组的解? 二元一次方程组的解有几种情况？

问题3：直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？

每一个关于x,y的二元一次方程都表示条直线，而二元一次方程组的解有三种情况，直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种

☆探索新知☆

问题：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系？

已知l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，

[来源:]A1xB1yC10将方程联立，得，对于这个方程组解的情况分三种讨论：

AxByC0222（1）若方程组有唯一解，则l1、l2相交，有唯一的公共点；

（2）若方程组无解，则l1、l2没有公共点，即平行；

（3）若方程组有无数多个解，则l1、l2有无数多个公共点，即重合．

如何求解两条直线的交点？如何判断两条直线的位置关系？

写出两条直线方程，联立求解：

方程组有唯一解两直线相交

方程组无解两直线平行

方程组有无穷多解两直线重合

如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢？完成下列表格：

By

l1:A1x1C10(A,B,C0)l2:A2xB2yC20111，方程组解的个数

(A2,B2,C20）

两直线的位置关系

方程系数的关系

相交

有唯一解

A1B1

A2B2平行

无解

A1B1C1

A2B2C2重合

有无数个解

A1B1C1

A2B2C2如果A1,B1,C1,A2,B2,C2中有等于零的情况，方程较简单，两条直线的位置关系容易确定. 具有某种共同性质的所有直线的集合，称为直线系；它的方程叫直线系方程．

若l1:A1xB1yC10、l2:A2xB2yC20相交，则方程

．

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示过l1与l2交点的直线系（不包括直线l2）题型一：求两直线交点坐标

例

求下列两条直线的交点坐标: l1:3x4y20

l2:4x2y20

3x4y20,解：解方程组



4x2y20.

得：x2,

y2.-11所以l1与l2的交点是M(2,2)．

题型二：判断直线的位置关系

例

求经过两条直线x2y40和xy20的交点，且和直线2xy60平行的直线l的方程．

分析：由直线l与直线2xy60平行，可以求得

直线l的斜率；又因为直线l经过两条直线x2y40

和xy20的交点，所以求出两直线的交点即可由点

斜式求得直线l的方程．

解法一：直线2xy60的斜率为2，且直线l与直

-11线2xy60平行，

直线l的斜率为：kl2．

x2y40,x0,解方程组

得

xy20.y2.．

直线x2y40和xy20的交点坐标为M(0,2）

直线l的方程为y22(x0)，即

2xy20．

点评：解法一中求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二中利用了平行直线的设法：与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBy0(0)，其中待定.

题型三：直线系方程

求经过两条直线x2y40和xy20的交点，且和直线2xy60平行的直线l的方程．

解：设经过两条直线x2y40和xy20的交点的直线l方程为x2y4（xy2）0，

则(1)x(2)y420．

直线l与直线2xy60平行，12，即1．

2直线l的方程为2xy20．

☆课堂提高☆

1.在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为(

) A.x+2y-4=0 C.2x-y-3=0 B.x-2y=0 D.2x-y+3=0

2.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m-n+p的值为(

) A.-4 B.0 C.16 =-1,m=10.

D.20 解析:由两条直线互相垂直,得-又垂足坐标为(1,p),代入直线10x+4y-2=0,得p=-2.将(1,-2)代入直线2x-5y+n=0,得n=-12.

故m-n+p=20.

答案:D

3.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过(

) A.第一象限

C.第三象限

B.第二象限

D.第四象限

解析:直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,由故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1), 又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限.

答案:D 4.已知直线ax+by-2=0,且3a-4b=1,则该直线必过定点

.

解析:由3a-4b=1,得b=答案:(6,-8)

,代入ax+by-2=0,得a(4x+3y)=y+8.令解得

[来源:][来源学+科+网]5.点A(2,2)关于直线l:2x-4y+9=0对称点的坐标是

.

解析:(法一)设点A(2,2)关于直线l的对称点A'(a,b),则线段AA'的中点在直线l上,且直线AA'与直线l垂直, 故解得故所求对称点的坐标为(1,4).

(法二)设对称点为点A'(a,b),AA'⊥l于M, ∵直线AA'的方程为y-2=-2(x-2), 即2x+y-6=0.解方程组

得AA'与l的交点M答案:(1,4)

[来源:].由中点坐标公式得解得即所求对称点的坐标为(1,4).

6.已知直线l被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得的线段的中点是原点O,则直线l的方程为

.

答案:x+6y=0