1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优质课教案

§1.3.3 空间几何体的体积（教学设计）

福州第十中学

李仙珺

教材分析：

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2003人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。

学情分析：

本节课是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上,对体积公式的由来的进一步探究,主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式。高一学生在经历了这么多年的学习训练中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。

教学目标

：

知识与技能：(1)理解祖暅原理以及柱体、锥体、台体和球体体积公式的推导过程与方法; (2)掌握柱体、锥体、台体和球体的体积公式; (3)能够运用柱体、锥体、台体和球体的体积公式解决相关问题. 过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”、

“归纳”等一系列数学活动,培养

学生观察、思考、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观. 情感态度与价值观：

(1)通过直观的动画,让学生从多个角度感受、体验不同几何体内部结构的联系,鼓励学生多观察、多接触实物的几何特征,以此培养空间想象力,改变对立体几何的学习态度; (2)学习过程中,通过体验严谨逻辑推理过程,让学生广泛参与、思考,培养学生严谨的思维习惯,科学的学习态度,感觉几何之美. 教学重点：祖暅原理及柱体、锥体、球体的体积公式的推导及应用; 教学难点：推导球体体积公式过程中的如何构造等体积几何体. 教学方法：学生利用已有知识进行探究活动，教师引导学生发现结论，拓展延伸。

教学过程：

（一）课前准备

（1）、若△ABC∽△DEF，相似比为k，则对应高之比为____；对应面积之比为____.

DE（2）、如图三棱锥P-ABC中，截面DEF与底面ABC平行，则△ABC∽___；k，AB△PEF∽___；△PO'F∽___且似比都为k；所以点P到截面距离h1与点P到底面距离h之比截面面积S1h1____；

____；底面面积Sh（3）、长宽高分别为a,b,c的长方体的体积V=________________. （4）、棱长为a的正方体的体积V=________________. （二）新课导学

※

学习探究

探究一：以学生课桌上的书本做道具，要求：同样高度的两摞课本放在桌上，改变两摞课本叠放的形状，有哪些量不会发生改变？由你观察到的结果你能得出什么样的一般结论？

祖暅原理： 为了求一般柱体、锥体的体积，我们简要介绍一下祖暅（gèng）原理. 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积. 祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论.

探究二：将底面积都等于S，高都等于h的任意一个长方体、一个圆柱和一个棱柱放置在同一水平面上，用一水平面去截三个几何体，观察截面面积与底面面积的关系？根据祖暅原理你能得到什么结论?

探究三：如图，将底面积都等于S，高都等于h的任意三个棱锥放置在同一水平面上，用另一水平面去截三个几何体，观察截面面积之间的关系？从中你能得到什么结论？如图5，设三棱柱A的底面积（即为S，BCABCABC的面积）C和平面高（即点A到平面ABC的距离）为h，则它的体积为Sh.沿平面AB，将这个三棱柱分割成3个三棱锥.其中三棱锥1、2的底面积相等ABC的距离）（S），高也相等（点C到平面A；三棱锥2、3也有相SBBAAABABB的距离）.因此，等的底面积（S）和相等的高（点A到平面BSCCBBBCBCC

1这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是Sh. 3AB3S1S1CAAABBC21A21CA3CBCC图4B图5B三棱锥A（即三棱锥1）如果以ABCABC为底，那么它的底面积是S，1高是h，而它的体积是Sh.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的3三分之一. 事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积1应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为V锥体=Sh

3这就是锥体的体积公式. 柱体和锥体是两种基本几何体，它们的体积公式有着广泛的应用. 探究五：如图，将一个半径为R的半球与一个底面半径和高均为R的圆柱放在同一水平面上,先从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，再用任一水平面去截这两个几何体，截面面积分别记为S1,S2,则S1,S2有何关系？先来研究半球（半径为R）的体积计算.为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的，使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体. 如图6（1），设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得圆面的半径为r，(1)图6(2)

2222222，于是截面面积Sr.S1可以看成是在半径rRrππ(Rl)πRπl1为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆，所得圆环的面积. 为此，我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上（图6（2））. 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面.有上述可知：

2222圆环大圆半径为R，小圆半径为l，面积S.所以，πRπlπ(Rl)2S1S2.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即

112232

VπRRπRRπR球2334所以球的体积 V球πR3

3根据祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体. 探究得到体积公式：

（三）课堂例题

（四）随堂检测

1.用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求圆柱的体积．

2.若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求六棱锥的体积．

3.圆台上下底面直径分别为10cm，20cm，高为2cm，求圆台的体积. 4.长方体相邻的三个面的面积分别为2，3和6，求长方体的体积. 5.已知正三棱锥的侧面积为183，高为3，求它的体积．

（五）回顾总结

柱体、锥体、台体和球体的体积公式

(六)板书设计

§1.3.3空间几何体的体积

一、柱体体积公式：

二、锥体体积公式：

三、台体体体积公式：

四、球的体积公式：

（七）课后思考

思考1：棱长为a的正方体的内切球体积怎么求？

思考2：长、宽、高分别为a,b,c(其中a

能容纳的最大的球体积怎么求？

（八）课后作业

(九)教后反思

本节课通过对祖暅原理的介绍，在教学实践中渗透数学文化。在设计椎体体积公式推导的过程中，先让学生动手实验展示圆锥体积恰为同底面积等高的圆柱体积的三分之一，再用切割法严谨验证圆锥的体积公式，使学生体验严谨的逻辑推理过程，让学生从多个角度感受、体验不同几何体内部结构的联系。课堂反映良好，学生兴趣浓厚。

不足之处有：1.本节课课堂容量偏大，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。同时还要重视探究题的作用，因为班上有一部分同学基础比较扎实，而且对数学也比较感兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

2.细节把握有待提高，比如口误，PPT播放器的熟练操作，例题板书的计算步骤应更详尽。

3.例题5的设计有新意，但分析深刻欠缺，可减少题量把更多时间花在例5的解析以及给足学生思考和展示学习成果的时间。

总之，在课堂教学中我“以知识为载体，以思维为主线，以能力为目标，以发展为方向”，展现知识的发生形成过程。采取以学生为主体，明确本节课的学习目标，以学习任务驱动为方式，以曲线方程的求法为中心。穿插研究性教学尝试，体现了“学生是学习主体，教师是引导者、参与者、组织者、合作者”的新课程理念。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。达到了教学目标，优化了整个教学过程。但是，在教学中还是存在很多不足的，在以后的教学中还要继续努力，不断总结经验教训，提高自身的教学素。