1.4.1 全称量词教学设计

1.4全称量词与存在量词

一、教学目标

【核心素养】

发展数学思维，形成辩证的逻辑推理能力. 【学习目标】

(1)理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；

(2)掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；

(3)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【学习重点】

通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【学习难点】

全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1：阅读教材预习教材P21—P23，思考：什么叫“全称量词”和“特称量词”

任务2：思考如何否定含有一个量词的命题

2.预习自测

1.判断下列全称命题的真假，其中真命题为（

）

A.所有奇数都是质数

B.xR,x211

C.对每个无理数x，则x2也是无理数

D.每个函数都有反函数

答案：B 2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（

）

A.x,yR，都有x2y22xy

B.x,yR，都有x2y22xy

C.x0,y0，都有x2y22xy

D.x0,y0，都有x2y22xy

答案：A 3.判断下列命题的真假，其中为真命题的是（

）

A.xR,x210

B.xR,x210

C.xR,sinxtanx

D.xR,sinxtanx

答案：D 4.对于下列语句: （1）xZ,x23

（2）xR,x22

（3）xR,x22x30

（4）xR,x2x50

其中正确的命题序号是

.（全部填上）

答案：（2）（3）

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）给定一个命题p，如何得到命题p的否定，它们的真假有什么关系？

（2）回顾逻辑联结词“非”的含义和用法. 2.问题探究

问题探究一

全称量词

观察与思考：观察以下命题：

（1）对任意xR，x>3；

（2）所有的正整数都是有理数；

（3）若函数f(x)对定义域D中的每一个x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数；

（4）所有中国国籍的人都是黄种人

想一想：

（1）这些命题中的量词有何特点? （2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？

阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？

想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫全称量词与全称命题

（1）短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“_____”表示.含有_______的命题，叫做全称命题. (2)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为__________，读作“________________.

试一试：判断下列全称命题的真假. （1）所有的素数都是奇数；

（2）xR,x211；

（3）每一个无理数x，x2也是无理数. （4）a,bxxmn2,m,nQ，abxxmn2,m,nQ. 想一想：你是如何判断全称命题的真假的？

问题探究二

特称量词

观察与思考：观察以下命题：

（1）存在一个x0R,使2x013；

（2）至少有一个x0Z,x0能被2和3整除；

（3）有些无理数的平方是无理数. 想一想：

（1）这些命题中的量词有何特点? 与全称量词有何区别？

（2）上述3个命题，可以用同一种形式表示它们吗？

阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？

想一想：请大家根据以上结论类比归纳，思考什么叫存在量词与特称命题：

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“___”表示.含有________的命题，叫做特称命题. (2)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为____________，读作“_______________.

练一练：判断下列特称命题的真假. 

命题

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

（1）有一个实数x0，使x022x030；

（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；

（3）有些整数只有两个正因数. 问题探究三、含有量词的命题的否定

常见词语的否定形式有：

原语句

是

都是

>

命题的否定

至少有一个

至多有一个

对任意x∈A使p(x)真

否定形式

3.课堂总结

【知识梳理】

不是

不都是

≤

一个也没有

至少有两个

存在x0∈A使p(x0)假

1.命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词. 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等. 存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等. 含有量词的命题通常包括存在性命题和全称命题二种. 2.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题.

全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:

∀x∈M，p(x)

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:

∃x∈M，q(x)

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母.存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母.存在量词的“否”就是全称量词.

【重难点突破】

(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.命题的否定与命题的否命题是不同的.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；

(2)注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定. (3)要判断“¬p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与¬p的真假相反.

4.随堂检测

1.下列命题不是“x0R,x023”的表述方法的是（

）

A.有一个x0R,使x023

B.有些x0R,使x023

C.任选一个xR,使x23

D.至少有一个x0R,使x023

解析：【知识点：特称命题】

答案：C

2.下列命题中的真命题是（

）

A.xR,sinxcosx1.5

B.x(0,),exx1

C.x(,0),2x3x

D.x(0,),sinxcosx

解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】

答案：B

x(0,),设f(x)exx1,则f(x)ex10,而f(0)0,所以有exx10,即exx1,故选B. 3.已知命题p:x0,2x3,则（

）

A. p:x0,2x3

B. p:x0,2x3

C. p:x0,2x3

D. p:x0,2x3

解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】

答案：B

因为特称命题的否定是全称命题,故选B. 4.给出下列四个命题:

①a⊥ba·b=0

;②矩形都不是梯形; ③x0,y0R,x02y021; ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是________. 答案：①②④

解析：【知识点：全称命题】

在②,④中含有全称量词“都”“任意”,为全称命题.③为特称命题.又①中的实质是:对任意a,b有a⊥ba·b=0,故①②④为全称命题. 5.下列说法正确的是（

）

A.对所有的正实数t,有tt

B.存在实数x0,使错误！未找到引用源。-3x0-4=0 C.不存在实数x0,使x0<4且错误！未找到引用源。+5x0-24=0 D.存在实数x0,使得|x0+1|≤1且x02>4 答案：B

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

t=错误！未找到引用源。时,t1,此时tt,所以A选项错; 2由x23x40,得x=-1或x=4,因此当x0=-1或x0=4时,

错误！未找到引用源。-3x0-4=0,故B选项正确; 由x25x240,得x=-8或x=3,所以C选项错; 由|x+1|≤1,得-2≤x≤0,由x24,得x<-2或x>2,所以D选项错. （三）课后作业

★基础型自主突破

1.下列命题中的假命题是（

）

1A.∃x0∈R，x0＋x＝2 0B.∃x0∈R，sin x0＝－1 C.∀x∈R，x2>0 D.∀x∈R,2x>0 解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：C

2.命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（

）

A.∃x0∉∁RQ，x03∈Q

B.∃x0∈∁RQ，x03∉Q

C.∀x∉∁RQ，x3∈Q

D.∀x∈∁RQ，x3∉Q

答案：D

解析：【知识点：特称命题的否定】

其否定为∀x∈∁RQ，x3∉Q. 3.命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（

）

A.所有能被2整除的整数都是奇数

B.所有不能被2整除的整数都不是奇数

C.存在一个能被2整除的整数是奇数

D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数

答案：D

解析：【知识点：全称命题的否定】

命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”

4.已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是（

）

A.∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

B.∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

C.∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D.∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0. 答案：C

解析：【知识点：全称命题的否定】

命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”.

5.下列命题为特称命题的是（

）

A.奇函数的图象关于原点对称

B.正四棱柱都是平行六面体

C.棱锥仅有一个底面

D.存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0

解析：【知识点：特称命题】

答案：D

本题主要考查全称、特称命题.A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D 6.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是（

）

A.∃x∈R，f(x)≤f(x0) B.∃x∈R，f(x)≥f(x0) C.∀x∈R，f(x)≤f(x0) D.∀x∈R，f(x)≥f(x0) 解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

b答案：C

x0＝－2a，当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，∴∀x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题. 7.下列命题中，真命题是（

）

A.∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B.∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C.∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函数

D.∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：A

由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题. 28.命题“存在x0∈R，使得x0＋2x0＋5＝0”的否定是______________________. 答案：对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0

解析：【知识点：特称命题的否定】

★能力型师生共研

29.已知命题p1：∃x0∈R，x2（

）

0＋x0＋1<0；p2：∀x∈[1,2]，x－1≥0.以下命题为真命题的是A.(p1)∧(p2) B.p1∨(p2) C.(p1)∧p2

D.p1∧p2 解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：C

∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0无解，故命题p1为假命题，p

1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，p2为假命题.∵p1为真命题，p2为真命题，∴(p1)∧p2为真命题. 10.下列说法中错误的是（

）

11A.对于命题p：∃x0∈R，使得x0＋x>2，则p：∀x∈R，均有x＋x≤2

0B.“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件

C.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”

D.若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

答案：D

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

显然选项A正确；对于B，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，选项B正确；对于C，原命题的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项C正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故选项D错误. 11.已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是（

）

A.a＝1或a≤－2 B.a≤－2或1≤a≤2

C.a≥1

D.－2≤a≤1

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：A

若命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.

2若命题q：∃x0∈R，x0＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2. 12.下列命题中，真命题是（

）

A.∃x0∈R，ex0≤0

B.∀x∈R,2x＞x2

aC.a＋b＝0的充要条件是b＝－1

D.a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

答案：D

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

因为∀x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不a能推出b＝－1，故排除C. 13.已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(Øq)”是假命题；③命题“(Øp)∨q”是真命题；④命题“(Øp)∨(Øq)”是假命题.其中正确的是（

）

A.②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④

答案：D

解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题的真假；数学思想：逻辑推理】

命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

）

A.(4，＋∞)

B.[1,4] C.[e,4] D.(－∞，1] 答案：C

解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】

“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题.p真则∀x∈[0,1]，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.

115.已知命题p：“∀x∈N*，x>x”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”).

解析：【知识点：全称命题的否定】

1答案：∃x0∈N，x0≤x；真

0*11q：∃x0∈N*，x0≤x，当x0＝1时，x0＝x成立，故q为真. 002xx0016.若命题“存在实数，使+ax0+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________. 解析：【知识点：特称命题的否定】

答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)

由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2. ★★★探究型多维突破

ππ17.设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝2对称.则下列判断正确的是（

）

A.p为真

B.q为真

C.p∧q为假

D.p∨q为真

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：C

命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题

18.若存在x0∈R，使ax0+2x0+a<0，则实数a的取值范围是（

）

A.a＜1 B.a≤1

C.－1＜a＜1 D.－1＜a≤1

解析：【知识点：全称命题】

答案：A

当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax0＋2x0＋a＜0. 当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，

综上所述，实数a的取值范围是a＜1.

19.若x∈[－2,2]，不等式x＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围. 答案：见解析

解析：【知识点：全称命题】

设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0.

a①当－2＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得7a≤3，又a＞4，所以a不存在. a②当－2≤－2≤2，即－4≤a≤4时，

2a12-4a-a³0，解得－6≤a≤2.

[f(x)]min＝f－2＝42又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.

a③当－2＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，

解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4. 综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}

xx20.若关于x的方程

4－(a＋1) 2＋9＝0有实数解，求实数a的取值范围. 答案：见解析

解析：【知识点：特称命题，一元二次方程】

令t＝2x，则t＞0，即将4x－(a＋1) 2x＋9＝0有实数解转化t2－(a＋1)t＋9＝0在(0，＋∞)上有实数解. 设f(t)＝t2－(a＋1) t＋9，

(a1)2360∵f(0)＝9＞0，∴有解得a≥5.

a10故所求的a的取值范围为a≥5.

（四）自助餐

1.下列命题中，不是全称命题的是（

）

A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

答案：D

解析：【知识点：全称命题】

2.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（

）

A.对任意实数x，都有x＞1 B.不存在实数x，使x≤1

C.对任意实数x，都有x≤1

D.存在实数x，使x≤1

解析：【知识点：特称命题的否定】

答案：C

3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则（

）

A.p：∃x∈A,2x∈B

B.p：∃x∉A,2x∈B

C.p：∃x∈A,2x∉B

D.p：∀x∉A,2x∉B

解析：【知识点：全称命题的否定】

答案：C

4.下列命题为真命题的是（

）

A. ∀x∈R，cos x<2 B.$x∈Z，log2(3x-1)<0

C. ∀x>0,3x>3 D.$x∈Q，方程2x－2＝0有解

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：A

本题主要考查特称、全称命题的真假，以及指数函数、对数函数、余弦函数的性质.A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x-1)<0,故0<3x－121<1⇔3

）

A.存在向量m，使得在△ABC中，1B.所有正实数x，都有x＋x≥2

C.所有第四象限的角α，都有sin α<0

且

D.有的幂函数的图象不经过点(1,1) 解析：【知识点：全称命题和特称命题的否定】

答案：D

本题主要考查特称、全称命题的否定和真假性判断，以及向量共线、基本不等式、正弦函数值的符号和幂函数.A中，当m＝0时，满足1假命题；B中，由于x>0，所以x＋x≥2且，所以A是真命题，其否定是11x·＝2，当且仅当x＝xx即x＝1时等号成立，所以B是真命题，其否定是假命题；C中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C是真命题，其否定是假命题；D中，对于幂函数f(x)＝xa，均有f(1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以D是假命题，其否定是真命题，故选D. 6.下列命题中的假命题是（

）

A."a，b∈R，an=an+b，有{an}是等差数列

B.$x0∈(－∞，0)，2x0<3x0

C."x∈R,3x≠0

D.$x0∈R，lgx0＝0 解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：B

对于A，an+1-an=a(n+1)+b-(an+b)=a常数.A正确；对于B，∀x∈(－∞，0)，2x>3x，B不正确；对于C，易知3x≠0，因此C正确；对于D，注意到lg1＝0，因此D正确. 7.下列命题中的真命题是（

）

3A.$x0∈R，使得sinx0cosx0＝5

B.$x0∈(－∞，0)，2x0>1 C."x∈R，x2≥x－1 D."x∈(0，π)，sin x>cos x

解析：【知识点：全称命题和特称命题，命题真假的判断】

答案：C

36由sinxcosx＝5，得sin2x＝5>1，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B，D错13误；因为x2－x＋1＝x－22＋4>0恒成立，所以C正确. 