4.3.2 空间两点间的距离公式优质课教案

第四章

4.3

4.3.1、2

基础巩固

一、选择题

1．下列命题中错误的是(

) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c) [答案]

A [解析]

空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．

2．在空间直角坐标系中，点M(3,0,2)位于(

) A．y轴上

C．xOz平面内

[答案]

C [解析]

由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．

3．在空间直角坐标系中，点P(2,3，－5)到原点的距离是(

) A．6

C．38

[答案]

C [解析]

由两点间距离公式得

2－02＋3－02＋－5－02＝38. 4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(

) A．(3,0,0)

C．(0,0,3)

[答案]

C [解析]

设P(0,0，z)，则有12＋－22＋z－12＝22＋22＋z－22，解得z＝3. 5．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(

) A．(1,2,3)

C．(－1,2，－3)

[答案]

B 6．已知点A(－3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是(

) B．(－1，－2,3) D．(1，－2，－3) B．(0,3,0) D．(0,0，－3) B．10 D．34 B．x轴上

D．yOz平面内

7A．(，1，－2)

2C．(－12,3,5)

[答案]

B 二、填空题

1B．(，2,3) 214D．(，，2) 337．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________.

3[答案]

(1，，1) 23[解析]

由长方体性质可知，M为OB1中点，而B1(2,3,2)，故M(1，，1)．

2158．在△ABC中，已知A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(，，3)，则AB边上的中线CD的22长是________. 5[答案]

21[解析]

AB中点D坐标为(，0,3)，

2|CD|＝1155－2＋－02＋3－32＝. 2222三、解答题

9．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．

[解析]

因为PA⊥AB，所以△PAB是直角三角形，所以|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，整理得x＋z＝1 同理，由PA⊥AC得|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，

即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋1，整理得2x＋z＝0 由①②解得x＝－1，z＝2，所以点P的坐标为P(－1,0,2)．

10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出点D，N，M的坐标；

(2)求线段MD，MN的长度．

[分析]

(1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐②

①

标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．

[解析]

(1)因为D是原点，则D(0,0,0)．

由AB＝BC＝2，D1D＝3，

得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．

∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．

同理可得M(1,2,3)．

(2)由两点间距离公式，得

|MD|＝1－02＋2－02＋3－02＝14，

|MN|＝1－22＋2－12＋3－02＝11. 能力提升

一、选择题

1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面的上投影点的坐标分别为(

) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) [答案]

B [解析]

点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)．点A(－1,2,1)在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．

2．正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2，－1)、B(3，－2,3)，则正方体的体积是(

) A．16

C．64

[答案]

C [解析]

|AB|＝3＋12＋－2－22＋3＋12＝43，

43∴正方体的棱长为＝4. 3∴正方体的体积为43＝64. 3．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，则△ABC是(

) A．直角三角形

C．锐角三角形

B．钝角三角形

D．等腰三角形

B．192 D．48 B．(－1,0,0)，(－1,2,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)

[答案]

A [解析]

由两点间距离公式得|AB|＝89，|AC|＝75，|BC|＝14，满足|AB|2＝|AC|2＋|BC|2. 84．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－，2,3)，则它在yOz平面上射影图3形的面积是(

) A．4

C．2

[答案]

D [解析]

△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1. 二、填空题

355．已知P(，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝22________. [答案]

0或－4 19[解析]

利用中点坐标公式可得AB中点C(，，－2)，因为|PC|＝3，所以223159－2＋－2＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或z＝－4. 22226．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________. [答案]

239

3B．3 D．1 [解析]

|AM|＝3－02＋－1－12＋2－22

＝13，∴对角线|AC1|＝213，

239设棱长x，则3x2＝(213)2，∴x＝. 3三、解答题

7.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E两点之间的距离．

[解析]

根据题意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．

过点E作EF⊥BD于F，如图所示，

则在Rt△BB1D1中，

|BB1|＝a，|BD1|＝3a，

|B1D1|＝2a，

所以|B1E|＝a·2a6a＝，

33a3a

32a2a2aa，|EF|＝，所以点F的坐标为(，，0)，

3333所以Rt△BEB1中，|BE|＝由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝2a2aa则点E的坐标为(，，)．

333由两点间的距离公式，得

|AE|＝2a2aa6a－2＋0－2＋0－2＝a，

33336a. 3所以A、E两点之间的距离是8．如下图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在面对角线A1B上，点Q在面对角线B1C上．

(1)当点P是面对角线A1B的中点，点Q的面对角线B1C上运动时，求|PQ|的最小值；

(2)当点Q是面对角线B1C的中点，点P在面对角线A1B上运动时，求|PQ|的最小值；

(3)当点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动时，求|PQ|的最小值．

[分析]

建立直角坐标系后，表示出相关点的坐标.

(1)确定点P坐标，根据条件设出点Q坐标，表示出|PQ|，用二次函数求最值．

(2)确定点Q坐标，根据条件设出点P坐标，表示出|PQ|，用二次函数求最值．

(3)设出P，Q两点坐标，表示出|PQ|，利用配方后非零数的和平方最小的条件确定P，Q的坐标．

[解析]

由已知，以顶点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如右图所示的空间直线坐标系Dxyz. ∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，

∴可得点A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)．

(1)∵点P是面对角线A1B的中点，

11∴由射影的概念可得P(1，，)．

22又点Q在面对角线B1C上运动，

∴可设点Q(b,1，b)，b∈[0,1]．

由两点间的距离公式得

|PQ|＝＝＝111－b2＋－12＋－b2

2232b2－3b＋

2332b－2＋. 4836∴当b＝时，|PQ|取得最小值，

4433此时点Q(，1，)．

44(2)∵点Q是面对角线B1C的中点，

11∴由射影的概念可得Q(，1，)．

22又点P在面对角线A1B上运动，

∴可设点P(1，a,1－a)，a∈[0,1]．

由两点间的距离公式得

|PQ|＝＝＝＝111－2＋a－12＋1－a－2

22112＋a－12＋－a2

2232a2－3a＋

2332a－2＋. 4836∴当a＝时，|PQ|取得最小值，

4431此时点P(1，，)．

44(3)∵点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动，

∴可设点P(1，a,1－a)，Q(b,1，b)，a，b∈[0,1]．

由两点间的距离公式得

|PQ|＝1－b2＋a－12＋1－a－b2

＝2a2＋2b2－4a－4b＋2ab＋3 ＝b3212a＋－12＋b－2＋. 22332b2∴当b＝时，代入a＋－1＝0得a＝，

32323即当a＝b＝时，|PQ|取得最小值，

332122此时点P(1，，)，Q(，1，)．

3333