3.1.2 导数的概念名师教学设计1

江门一中

高二数学◆选修2-2◆导学案

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课题§1.1.2 导数的概念

教学目标：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数. 教学过程：

一、创设情景

(一)平均变化率

平均变化率为那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况:

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfxxx2x1x表示什么? (二)探究

探究: 计算运动员在0t速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数h(t)4.9t6.5t10的图像, h 结合图形可知,h(2

思考当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？

结论: 当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都65这段时间里的平均49趋近于一个确定的值13.1. 从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便,我们用h(2timt0tl定值13.1”

)h(2)13

.1表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于65)h(0), 49小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. 2.导数的概念

设函数yfx，当自变量x从x0变为x1时，函数值从fx0变为fx1，函数值y关于x的平均变化率为：

yf(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)

xx1x0o65)h(0)所以v490(s/m)

6504965虽然运动员在0t这49h(t 段时间里的平均速度为0(s/m), 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 二、新课讲授

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,

1 x当x1趋于x0时，即x0，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们就说yfx在x0处可导，并把这个值叫做yfx在x0处的导数，记作fx0，即

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2019年

月

日

高二(

)班

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第(

) 小组

第一章

导数

fxyf(x1)f(x0)0limx0xlimx0x

1x0f(x0x)f(x0)limx0x

说明：

（1）函数yfx在x0处可导是指x0时，y能x够趋于一个固定的值，如果y不能趋于一个固定的x值，就说yfx在x0处不可导，或说无导数。

注意：fx0limy不存在可分两种情况，其一x0x是当x趋于零时yx的值趋于；其二是y在x0x的方向不同时的值不同；

(2) x是自变量x0处的改变量，x0，而y是函数值的改变量，可以为零。

3．求导数的方法：

由导数的定义可知，求yfx在x0处的导数的步骤为：[来源:www.shulihua.net]

⑴求函数的增量yfx0xfx0

⑵求平均变化率yf(x0x)f(x0)

xx⑶求导数fx0limyx

x0说明: (1)导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率; (2)xxx0,当x0时,xx0,所以f(xf(x)f(x0)0)limx0xx. 0三、典例分析

例1求yfx1在x1处的导数。

x分析：利用导数的概念即可．[来源:www.shulihua.net]

解：

x1点附近的平均变化率：11y1x1x111x(1x)xxxxx(1x)

1x(1x)21x[来x(1x)(1x1x)(1x)(1x1x)源:www.shulihua.net]

当x0时得yfx1x在x1处的导数为：1。

2

变式一

(1)求函数y3x2在x1处的导数. (2)求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求fyf(x0x)f(x0),再求yx,最后求ylimx0x. 解: (1)6 (2y(1x)2(1x)23x

xx[来源:数理化网]f(1)limy(1x)2(1x)2x0xxlim(3x0x)=3 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为f(x)x27x15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:

在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义ff(2x)f(x0)xx

(2x)27(2x)15(227215)xx3

所以f(2)flimx0xlimx0(x3)3 同理可得:f(6)5

[来源:www.shulihua.net]在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5, 说明在第2h附近,原油温度大约以3C/h的速率下降在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升. 注: 一般地,f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近2

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的变化情况.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

四、课堂小结

f('1、函数在某一点处的导数x)是一个定值，是函数在该点的函数变量与自变量的变量的比值的极限，不是变量

2、函数的导数：是指某一区间内任一点X而言的

3、函数f(x)在x0处的导数就是导函数f('x)在xx0处的函数值

五、当堂检测

1．如果函数f(x)x在点xx0处的瞬时变化率是33，则x的值是（

A

）

0A．3

B．142

C．1

D．3 2．

已知函数y=x2＋1的图象上一点A（1，2）及其邻近一点B（1＋△x,2＋△y）,则直线AB 的斜率是 （ C ）

A．2 B．2x C．2＋△ D．2＋(△x)2

3．已知函数y2x24x1，则yx1

0

，yx3

16 。

4．求下列函数的导数

（1）求函数y4xx2在x1处的导数；

（２）求函数y1x1在x1．5处的导数；

解：（1）6；（2）425；

5、已知一物体的运动方程是sf(t)3t22,0t3;3),t3.，求此物体分别在293(t2t1和t4时的瞬时速度。

此物体在t1和t4时的瞬时速度均为6 6．设函数y=f(x)=x2－1，

（1）

当自变量x由1变到1．1时，求函数值增量△y；

（2）

当自变量x由1变到1．1时，求函数值的平

3 均变化率；

（3）

求该函数图象在点（1，y0）处的切线方程．

6．(1)0.21；(2)2.1；(3)y=2x－2．

7．设函数f(x)可导，则

lim

f1＋Δx－f13Δx等Δx→0于(

)．

A．f′(1)

B．3f′(1)

C.13f′(1)

D．f′(3) 解析

根据导数的定义：

lim

Δx→0f1＋Δx－f1Δx＝f′(1)，

lim

f1＋Δx－f13Δx＝13f′(1)．

Δx→0答案

C 8．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．

解析

vΔt－s0初＝s′|t＝0＝

lim

s0＋ΔtΔt→0＝

lim

(3－Δt)＝3. Δt→0答案

3 9．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．

解析

vlim

Δsst0＋Δt－st00＝

Δt＝

lim

Δt

Δt→0Δt→0

＝

lim

vt0＋Δt－vt0Δt＝

lim

v·ΔtΔt＝v. Δt→0Δt→0答案

相等

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) 小组

第一章

导数

10．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运

动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－

3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．

解

运动方程为s＝1

2at2.

∵Δs＝1a(t0＋Δt)2－1222at0

＝atΔt＋1022a(Δt)，

∴Δs1

Δt＝at0＋2aΔt，

∴

lim

ΔsΔt＝at0.

Δt→0

由题意知a＝5×105，t0＝1.6×10－3，

故at

0＝8×102＝800(m/s)．

即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

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