习题1.2优质公开课教案

习题课——充分条件与必要条件的综合应用

课后篇巩固提升

基础巩固

1.已知a,b∈R,则“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析∵a+b<0,∴a<-b,b<-a,∵a<0,b>0,∴a<-b<00,a<0,∵a<-b,b<-a,∴a+b<0,因此必要性成立,综上“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b

) A.0≤a≤2 C.0

解析A∩B=⌀⇔

-

-

⇔

答案A 3.“3x2-8x-3<0”的一个必要不充分条件是(

) A.-

B.-

解析3x2-8x-3<0⇔(3x+1)(x-3)<0⇔-

答案B 4.已知条件p:a=-1,条件q:直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行,则p是q的(

) A.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件

解析因为直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行, 所以a2+a=0,解得a=0或a=-1;即q:a=0或a=-1; 所以由p能推出q;q不能推出p; 即p是q的充分不必要条件.故选C. 答案C 5.“log2a

”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若log2a

>0,即“log2a

”,反之也不成立,因此“log2a

”的既不充分也不必要条件.

故选D. 答案D 6.命题p:|x|0),命题q:x2-x-6<0,若p是q的充分条件,则a的取值范围是

,若p是q的必要条件,则a的取值范围是

.

解析p:-a

-

所以

故a≤2.

若p是q的必要条件,则(-2,3)⊆(-a,a), -

-

所以

则a≥3.

答案(-∞,2]

[3,+∞) 7.下列四个命题中为真命题的是

.(填序号)

①“a>b”是“2a>2b”的充要条件; ②“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要条件; ③“函数f(x)=ax2+bx(x∈R)为奇函数”的充要条件是“a=0”; ④“定义在R上的函数y=f(x)是偶函数”的必要条件是“

=1”.

解析①真命题,∵y=2x在R上是增函数,

-

∴a>b⇔2a>2b; ②假命题,当a=b<0时,lg a,lg b无意义; ③真命题,f(x)是奇函数⇔f(-x)+f(x)=0⇔ax2-bx+ax2+bx=0⇔ax2=0⇔a=0; ④假命题,如f(x)=x2-1是偶函数,但f(1)=0,

无意义.

答案①③

8.已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:x2-6x+9-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.

解p:-1≤x≤4,q:3-m≤x≤3+m(m>0)或3+m≤x≤3-m(m<0),

依题意,

-

-

或

-

解得m≤-4或m≥4.

-

故实数m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).

9.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么: (1)s是q的什么条件? (2)r是q的什么条件?

-

(3)p是q的什么条件? 解由题意可知,

(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充要条件.

(2)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q的充要条件.

(3)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q的必要条件.

10.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2.

证明(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,所以方程x2+mx+1=0有实根,设两根为x1,x2, 由根与系数的关系知,x1·x2=1>0,所以x1,x2同号.

又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负数.

即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.

(2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根,设其为x1,x2,且x1·x2=1,

-

或

-

所以

即

-

所以m≥2,即x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件是m≥2.

综上可知,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充分必要条件.

能力提升

1.直线l1∥直线l2的一个充分条件是(

) A.l1∥平面α,l2∥平面α

C.l1平行于l2所在的平面

答案D 2.“a=b”是“直线y=x+

与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

B.l1⊥l3,l2⊥l3

D.l1⊥平面α,l2⊥平面α

解析由线面垂直的性质定理知答案选D.

解析若直线y=x+

与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切, 则圆心(a,b)到直线x-y+

=0的距离d=解得a-b=0或a-b=-2

, 即“a=b”是“直线y=x+

与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的充分不必要条件,故选A. 答案A 3.已知向量a=(x,y),b=(cos α,sin α),其中x,y,α∈R.若|a|=4|b|,则使a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是(

) A.λ>3或λ<-3 B.λ>1或λ<-1

-

=1,即|a-b+

|=

,

C.-3<λ<3 D.-1<λ<1 解析由已知得|b|=1,所以|a|=

=4.

所以a·b=xcos α+ysin α=

sin(α+φ)=4sin(α+φ)≤4.

因为a·b<λ2成立,所以λ2>4,解得λ>2或λ<-2.

这是a·b<λ2成立的充要条件, 因此,λ>1或λ<-1是a·b<λ2成立的一个必要不充分条件,故选B.

答案B 4.在下列电路图中,分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:

(1)中,开关A闭合是灯泡B亮的

条件;

(2)中,开关A闭合是灯泡B亮的

条件;

(3)中,开关A闭合是灯泡B亮的

条件;

(4)中,开关A闭合是灯泡B亮的

条件.

解析(1)开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;(2)仅当开关A,C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件;(3)开关A不起作用,故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件;(4)开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只须开关A或C闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件. 答案(1)充要

(2)必要不充分

(3)既不充分也不必要

(4)充分不必要

5.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为

,若p是q的必要条件,则m的最小值为

.

解析由|x|≤m(m>0)得:-m≤x≤m, p是q的充分条件⇒ -

-

⇒0

∴m的最大值为1.

p是q的必要条件⇒ -

-

⇒m≥4,

∴m的最小值为4.

答案1

4 6.已知条件P={x|x2-3x+2≤0},条件S={x|1-m≤x≤1+m}.

(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由; (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由.

解(1)P={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}.

要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, 即

-

此方程组无解,

则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.

(2)要使x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P, 当S=⌀时,1-m>1+m, 解得m<0; 当S≠⌀时,1-m≤1+m, 解得m≥0;

-

要使S⊆P,则有

解得m≤0,

综上可得,当实数m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.

7.已知p: <0(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.

解由 <0(m>0),解得-m

-

-

若p是q的充分不必要条件,则有

或

解得m无解;

-

-

若p是q的必要不充分条件,则有

或

解得m≥2或m>2.

因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).

-

-