习题2.4教学设计(第二课时)

1.（已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交A、B两点，F为C的焦点。若FA2FB,则k= (

) Ａ.12222

Ｂ. Ｃ.

Ｄ.

3333【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由FA2FB及第二定义知xA22(xB2)联立方程用根与系数关系可求k=【答案】D 22. 32.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比SBCF=( ) SACF A.4241 B. C. D.

53726C42F: (0.51, 0.00)AF-5510x=-0.5-2B

-4【解析】由题知-6SBCFSACF1BC22xB1，

12xA1ACxA2xB又|BF|xB132xByB3

2202xAyMyAyMyB03由A、B、M三点共线有即，故xA2，

3xMxAxMxB3xA32

∴SBCF2xB1314，故选择A。

SACF2xA1415【答案】A

3.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为y24x，

2y14x1Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1x2，2y24x2yy242两式相减得，y12y24x1x2，11

x1x2y1y2直线l的方程为y-2=x-2,即y=x【答案】y=x

2y4x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B4.（全国大纲理10）已知抛物线C：两点．则cosAFB=

43 A．5 B．5 34C．5 D．5

【答案】D 5.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，中点到y轴的距离为

AFBF=3，则线段AB的357（A）4 （B）1 （C）4 （D）4

【答案】C 2y2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径6.设圆C位于抛物线能取到的最大值为__________ 【答案】61

7.设抛物线y8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF

（A）43 （B） 8 （C）

83 （D） 16 【答案】 B 2

8.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为

（A）x1 (B)x1

(C)x2 (D)x2

【答案】B 9.若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ,圆（x-2）+（y-3）=1关于直线对称的圆的方程为 【答案】-1

2210.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________。

【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2，B点坐标为（2，1）所以4点B到抛物线准线的距离为32，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题

411.(14)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足AF3FB,则弦AB的中点到准线的距离为___________. 解析：设BF=m,由抛物线的定义知

AA13m,BB1m

ABC中，AC=2m,AB=4m,kAB3

直线AB方程为y3(x1)

与抛物线方程联立消y得3x10x30

2所以AB中点到准线距离为

x1x25811

233

12已知m是非零实数，抛物线C:y22ps（p>0）

m20上。

的焦点F在直线l:xmy2（I）若m=2，求抛物线C的方程

（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA2F,△BB1F的重心分别为G,H 求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。

13.已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D. （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

（Ⅱ）设FAFB8，求BDK的内切圆M的方程 . 9

14.已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。

（Ⅰ）求曲线C的方程

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

都有FA?

15.过抛物线y22px(p0)的对称轴上一点Aa,0a0的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l:xa作垂线，垂足分别为M1、N1。

（Ⅰ）当a（Ⅱ）记p时，求证：AM1⊥AN1；

2AMM1、AM1N1

、ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在，使2得对任意的a0，都有S2S1S2成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

解

依题意，可设直线MN的方程为xmya,M(x1,y1),N(x2,y2)， 则有M(a,y1),N(a,y2)

xmya由2消去x可得y22mpy2ap0 y2px ， 从而有y1y22mp ① yy2ap12于是x1x2m(y1y2)2a2(m2pa) ②

(y1y2)2(2ap)22又由y2px1，y2px2可得x1x2 ③

a224p4p2121（Ⅰ）如图1，当a此时M1(ppp时，点A(,0)即为抛物线的焦点，l为其准线x

222PP,y1),N1(,y2),并由

①可得y1y2p2

22uuuuvuuuv证法1：QAM1(p,y1),AN1(p,y2)

uuuuvuuuvAM1AN1p2y1y2p2p20,即AM1AN1

证法2：QKAM1y1y,KAN12,pp

KAM1KAN1

y1y2p2221,即AM1AN1. pp2(Ⅱ)存在4，使得对任意的a0，都有S24S1S3成立，证明如下：

证法1：记直线l与x轴的交点为A1,则OAOA1a。于是有

11S1MM1A1M1（x1a)y1221 S2M1N1AA1ay1y2211S3NN1A1N1（x2a)y2222S24S1S3(ay1y2)2(x1a)y1(x2a)y2a[(y1y2)4y1y2][x1x2a(x1x2)a]y1y2将①、②、③代入上式化简可得

222

a2(4m2p28ap)2ap(2am2p4a2)4a2p(m2p2a)

2上式恒成立，即对任意a0,S24S1S3成立

2证法2：如图2，连接MN1,NM1,则由y1y22ap,y12px1可得

KOMy12p2py22py2y2KON1,所以直线MN1经过原点O，

x1y1y1y22apa同理可证直线NM1也经过原点O

又OAOA1a设M1A1h1,N1A1h2,MM1d1,NN1d2,则

S1

111d1h1,S22a(h1h2)a(h1h2),S3d2h2.222

16已知点P是⊙O：x2y29上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足DQ2DP。

3（1）求动点Q的轨迹方程； （2）已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使OE1(OMON) (O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方2程，若不存在，请说明理由。

（1）设P(x0,y0),Qx,y，依题意，则点D的坐标为答案 (本题满分14分) 解：D(x0,0)……1分

∴DQ(xx0,y),DP(0,y0) ………………………2分

xx00x0x2又 DQDP ∴ 即23 ………………………43yy0y02y3分

x2y21 ………………………5∵

P在⊙O上，故x0y09 ∴ 9422分

x2y21 ………………………6分

∴

点Q的轨迹方程为94x2y21上存在两个不重合的两点M(x1,y1),Nx2,y2满足

（2）假设椭圆94x1x21x1x221OE(OMON)，则E(1,1)是线段MN的中点，且有2即…9分

2y1y21y1y222x2y21上

又

M(x1,y1),Nx2,y2在椭圆94

x12y121xx2x1x2y1y2y1y2094∴  两式相减，得

1……122294x2y2149分

∴ kMNy1y24 ∴ 直线MN的方程为

4x9y130

x1x29∴ 椭圆上存在点M、N满足OE1(OMON)，此时直线MN的方程为

24x9y130 …………………………14分

5. 若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MFMA取得最小值的M的坐标为（

）

A

0,0

B

,1

C

1,2

D

2,2

125．过抛物线y22x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1x26，则AB=

．

7．过抛物线y=4x的焦点F作倾斜角为( ) (A)42 (B)4 (C)8 (D)2 例2

. 过抛物线y22pxp0的焦点F作直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点，求证：

（1）23的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是 4ABx1x2p （2）2112AFBFp

p2(3)

y1y2p （4）x1x2

4