4.3.2 空间两点间的距离公式教学内容概述

一、教材的地位和作用

空间两点间的距离公式

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离。点又是确定直线、平面的几何要素之一，所以对以后点、直线、平面的距离公式的推导和进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。

二、教学目标

1．知识与技能：（1）掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标。

（2）掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。

2.过程与方法：通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。

3.情感态度与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一问数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想。

三、教学重难点

教学重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 教学难点：空间两点间的距离公式的推导

四、教法学法和教具

创设问题情境——引导探究——归纳与总结，引导、启发、总结和归纳，把类比思想，化归思想贯穿始终以符合学生的现有知识水平的特点，从而促进思维能力的进一步发展，通过探索活动发现规律，解决问题，发展探究能力和创造能力。

教具：多媒体

五、教学过程

温故知新

1.

建立空间直角坐标系空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴.

- 1 -

记作：空间直角坐标系O-xyz. 2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中, 用一个三元有序数组来刻画（x,y,z).

x 是横坐标,

y 是纵坐标, z是竖坐标. 空间点的位置P3.长方体的长、宽、高分别为a、b、c. 则对角线长d=a2b2c2.

创设情境

一楼屋顶C’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？

设计意图：通过谈话的方式将知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落的问题创设情境，增强讲授的吸引力，提高学生的兴趣。 平面内任意两点A(x1, y1), B(x2, y2)之间距离d(x1x2)2(y1y2)2

，

那么空间任意两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).间的距离是多少/

探究：空间中点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？你猜一猜？ 设计意图：通过问答方式对已有知识的进行回忆，又对公式在形式上的对比、类比，让学生大胆思考、大胆猜想，培养学生合作、交流、探究的能力。 一、空间两点间的距离公式

1.公式推导

给定空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2).

ACA1C1y1y2，CDC1D1x1x2，BDB1D1z1z2

ABACCDDB(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

222

设A(x1, y1, z1),

B(x2, y2, z2). 则M(x1, y1, 0) , N(x2, y2, 0) , H(x2, y2, z1).

- 2 -

|MN|(x1x2)2(y1y2)2,|AH|(x1x2)2(y1y2)2

|BH||z2z1||AB|2|AH|2|BH|2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

即：|AB|(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

同名坐标差的平方和的算术根

公

式: AB(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

特别: 点P(x, y, z)到原点o的距离是dx2y2z2

两点间的距离公式本身就是坐标法的应用，同时再通过一系列的典型例题，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理归纳出坐标法的一般步骤，从而突出重点、突破教学难点． 坐标法的基本步骤：

1.建立适当的坐标系,用坐标表示有关量, 2.进行代数运算, 3.把代数运算”结果翻译”成几何关系 3.公式应用

例1.给定空间直角坐标系, 在x轴上找一点使它与点P0(4, 1, 2)的距离为30.

例2.在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M, 使M到点N(6, 5, 1)的距离最小. （x,1x,0)，|MN|=(x6)2(1x5)2(01)22(x1)251

解：设M0，0)

当x1时，|MN|min51，故点M(1，设计目的：通过基础练习，让学生独立完成，这样做是为了巩固所学知识，加深对两点间距离的公式的理解，并从学生练习过程中得到反馈信息,了解教学效果. 例3.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱相互垂直, SA=SB=2SC=4, 试建立适当的空间直角坐标系, 并确定底面△ABC的重心G的坐标.

- 3 -

442G(,,)333

例4.已知A(3,3,1)、B(1,0,5)，求：(1)d(A，B)；(2)线段AB的中点坐标；

(3)到A、B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x、y、z满足的条件．

解：(1)由空间两点间的距离公式，

得d(A，B)＝3－12＋3－02＋1－52＝29. 3＋13＋01＋53(2)线段AB的中点坐标为(，，)，即为(2，，3)．

2222(3)点P(x，y，z)到A、B的距离相等，

则x－32＋y－32＋z－12＝x－12＋y－02＋z－52，

化简得4x＋6y－8z＋7＝0，

即到A、B距离相等的点P的坐标(z，y，z)满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0. 学生练：

练习1.求点P(1, 2, -2)和Q(-1, 0, -1)间的距离.

练习2.已知

A(3, -2, -1), B(-1, -3, 2), C(-5, -4, 5) , 试判断A, B, C三点是否共线.

练习3.已知□ABCD的顶点A(4, 1, 3), B(2, -5, 1), C(3, 7, -5), 求顶点D的坐标. 练习4. 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．

(1)当2|C1Q|＝|QC|时，求|PQ|；

(2)当点Q在棱CC1上移动时，求|PQ|的最小值．

解：(1)由题意知点C1(0,1,1)，点D1(0,0,1)，点C(0,1,0)，

111点B(1,1,0)，点P是体对角线D1B的中点，则点P(2，2，2)．

2因为点Q在棱CC1上，且2|C1Q|＝|QC|，所以点Q为(0,1，3)．

- 4 -

|PQ|＝

12－02＋12－212＋2－32＝1919＝366. (2)当点Q在棱CC1上移动时，则点Q(0,1，a)，a∈[0,1]．

|PQ|＝12－2＋12－21＋2－a2＝

1a－221＋2. 211故当a＝2时，|PQ|取得最小值，此时点Q(0,1，2)．

2六、课堂小结

1.两点间的距离公式：AB(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

2.

坐标法的基本步骤：

（1）建立适当的坐标系,用坐标表示有关量, （2）进行代数运算, （3）把代数运算”结果翻译”成几何关系

七、作业布置

A组6,7

B组

版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

- 5 -